Encontre o comprimento da curva C parametrizadas pelas equações abaixo:
f(t)=(\operatorname{sen} t, t, 1-\cos t) ; t \in[0,2 \pi];

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
f(t) = (\sin t,\;t,\;1-\cos t),\quad t\in[0,2\pi].
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva:
L = \int_a^b \big\|f'(t)\big\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
f'(t) = \bigl(\cos t,\;1,\;\sin t\bigr).

Passo 3

O módulo de f'(t) é
\|f'(t)\| = \sqrt{(\cos t)^2 + 1^2 + (\sin t)^2} = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.

Passo 4

Como \|f'(t)\| é constante, o comprimento fica
L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\,\bigl[\,t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi\sqrt{2}.

Resposta

2\pi\sqrt{2}

Exercícios relacionados