Faça o gráfico da curva em coordenadas polares
e calcule a área da região interior ao gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da curva em coordenadas polares definida por
e calcular a área da região que fica dentro desse gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares, entender como desenhar gráficos nesse sistema e aplicar a fórmula de área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é coordenada polar. Diferente do sistema cartesiano que usa
e
, o polar usa
e
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo formado com o eixo positivo
. Então,
nos diz como a distância
varia conforme o ângulo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Esse tipo de equação tende a formar uma curva com simetria. O fator
dentro do seno indica que a curva vai ter duas “folhas” ou “voltas” completas à medida que
varia de
a
. Isso porque o seno completa um ciclo completo quando seu argumento vai de
a
.
Passo 4
Para desenhar o gráfico, vamos calcular alguns valores de
para diferentes valores de
:
- Quando
, . - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, (mas como é uma distância, consideramos o valor positivo e desenhamos no ângulo oposto). - Quando
, .
Plotando esses pontos e conectando-os suavemente, percebemos que o gráfico forma uma espécie de “rosa” com duas pétalas.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região interior ao gráfico. A fórmula para a área
em coordenadas polares é:
Nesse caso, a curva completa uma pétala quando
varia de
a
(já que
vai de
a
). Como a curva tem duas pétalas, podemos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por 2.
Passo 6
Vamos calcular a área de uma pétala:
Primeiro, precisamos simplificar
. Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Portanto:
Passo 8
Como a curva tem duas pétalas, a área total
é:
Resposta
A área da região interior ao gráfico da curva
é
unidades de área.