Faça o gráfico da curva em coordenadas polares r=sin (2 theta) e calcule a área da região interior ao gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da curva em coordenadas polares definida por e calcular a área da região que fica dentro desse gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares, entender como desenhar gráficos nesse sistema e aplicar a fórmula de área em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é coordenada polar. Diferente do sistema cartesiano que usa e , o polar usa e , onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo formado com o eixo positivo . Então, nos diz como a distância varia conforme o ângulo .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Esse tipo de equação tende a formar uma curva com simetria. O fator dentro do seno indica que a curva vai ter duas “folhas” ou “voltas” completas à medida que varia de a . Isso porque o seno completa um ciclo completo quando seu argumento vai de a .

Passo 4

Para desenhar o gráfico, vamos calcular alguns valores de para diferentes valores de :
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , (mas como é uma distância, consideramos o valor positivo e desenhamos no ângulo oposto).
  • Quando , .
Plotando esses pontos e conectando-os suavemente, percebemos que o gráfico forma uma espécie de “rosa” com duas pétalas.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região interior ao gráfico. A fórmula para a área A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta em coordenadas polares é:
Nesse caso, a curva completa uma pétala quando varia de a (já que vai de a ). Como a curva tem duas pétalas, podemos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar por 2.

Passo 6

Vamos calcular a área de uma pétala:
Apétala = 12 integral0^pi2 (sin(2theta))^2 , dtheta é
Primeiro, precisamos simplificar sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 . Usando a identidade trigonométrica:
(sin(2theta))^2 = 1 - cos(4theta)2
Aplicando isso:
Apétala = 12 integral0^pi2 1 - cos(4theta)2 , dtheta = 14 integral0^pi2 (1 - cos(4theta)) , dtheta
Agora, a integral fica:
é

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral (1 - cos(4theta)) , dtheta = integral 1 , dtheta - integral cos(4theta) , dtheta = theta - sin(4theta)4 + C
Aplicando os limites de integração de [ theta - sin(4theta)4 ]0^pi2 = ( pi2 - sin(2pi)4 ) - ( 0 - sin(0)4 ) = pi2 - 0 = pi2 a Apétala = 14 cdot pi2 = pi8 :
Portanto:
é

Passo 8

Como a curva tem duas pétalas, a área total A = 2 cdot Apétala = 2 cdot pi8 = pi4 é:
é

Resposta

A área da região interior ao gráfico da curva é unidades de área.

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