Encontre o comprimento da curva dada.
r=e^-theta, de theta=0 até theta=2 pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em coordenadas polares dada por r=e^-theta para 0<=theta<=2pi. O conteúdo principal é o comprimento de curva em coordenadas polares, e vamos precisar usar a fórmula que envolve r(theta) e sua derivada.

Passo 2

Em coordenadas polares, o comprimento de arco é dado por
L=integraltheta1^theta2raizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta
Aqui theta1=0 e theta2=2pi.

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada de r:
r(theta)=e^-theta
r'(theta)=-e^-theta
Em seguida, avaliamos
r(theta)^2+l(r'(theta)r)^2=e^-2theta+e^-2theta=2e^-2theta

Passo 4

Substituindo na integral temos
L=integral0^2piraiz2e^-2theta,dtheta=integral0^2piraiz2,e^-theta,dtheta=raiz2integral0^2pie^-theta,dtheta

Passo 5

Basta agora calcular a integral:
integral0^2pie^-theta,dtheta=l[-e^-thetar]0^2pi=1-e^-2pi
Portanto,
L=raiz2,(1-e^-2pi)

Resposta

L=raiz2,(1-e^-2pi)

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