¿Qué posibilidades hay en el orden de integración para calcular la integral triple de una función f(x, y, z) sobre el cilindro
Omega=(x, y, z) mid x^2+y^2 <= 1,-1 <= z <= 1 ?

Passo 1

Tenemos la integral triple integral triplaOmega f(x,y,z),dV sobre el cilindro Omega=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,,-1<= z<=1. El contenido es integración múltiple en regiones cilíndricas (en coordenadas cartesianas) y vamos a ver todas las permutaciones posibles de integración.

Passo 2

La región Omega se proyecta en el plano xy como el disco unitario x^2+y^2<=1, y la coordenada z es independiente, con -1<= z<=1. Por tanto, para cualquier orden, los límites de x,y vienen del disco y los de z son constantes.

Passo 3

Para cada orden de integración, colocamos la variable más interna con límites según la proyección adecuada, la del medio según la siguiente y la más externa es la que queda.

Passo 4

Las seis integrales iteradas (permutaciones de x,y,z) son:
integralz=-1^1integraly=-1^1integralx=-raiz1-y^2^raiz1-y^2f(x,y,z),dx,dy,dz
integralz=-1^1integralx=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y,z),dy,dx,dz
integraly=-1^1integralz=-1^1integralx=-raiz1-y^2^raiz1-y^2f(x,y,z),dx,dz,dy
integraly=-1^1integralx=-raiz1-y^2^raiz1-y^2integralz=-1^1f(x,y,z),dz,dx,dy
integralx=-1^1integralz=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y,z),dy,dz,dx
integralx=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2integralz=-1^1f(x,y,z),dz,dy,dx

Resposta

Las seis formas de ordenar la integración son:
integralz=-1^1integraly=-1^1integralx=-raiz1-y^2^raiz1-y^2f(x,y,z),dx,dy,dz,
integralz=-1^1integralx=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y,z),dy,dx,dz,
integraly=-1^1integralz=-1^1integralx=-raiz1-y^2^raiz1-y^2f(x,y,z),dx,dz,dy,
integraly=-1^1integralx=-raiz1-y^2^raiz1-y^2integralz=-1^1f(x,y,z),dz,dx,dy,
integralx=-1^1integralz=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2f(x,y,z),dy,dz,dx,
integralx=-1^1integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2integralz=-1^1f(x,y,z),dz,dy,dx

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