Encontre o comprimento da curva polar r=2(1+cos theta) de theta=0 a theta=2 pi

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento da curva polar definida por r=2(1+costheta) de theta=0 a theta=2pi. Isso envolve o conteúdo de comprimento de curvas em coordenadas polares, para o qual precisamos da fórmula L=integrala^braizr^2+(tfracdrdtheta)^2,dtheta.

Passo 2

Vamos calcular tfracdrdtheta. Como r=2(1+costheta), temos
drdtheta=-2sintheta

Passo 3

Agora montamos o integrando:
raizr^2+l(drdthetar)^2=raiz4(1+costheta)^2+4sin^2theta

Passo 4

Simplificando dentro da raiz:
4(1+2costheta+cos^2theta)+4sin^2theta=4l(1+2costheta+cos^2theta+sin^2thetar)=4(2+2costheta)=8(1+costheta)

Passo 5

Logo o integrando fica
raiz8(1+costheta)=2raiz2,raiz1+costheta

Passo 6

Usando a identidade de meia-ângulo 1+costheta=2cos^2(theta/2), obtemos
2raiz2,raiz2cos^2(tfractheta2)=4l|cos(tfractheta2)r|

Passo 7

Portanto o comprimento é
L=integral0^2pi4l|cos(tfractheta2)r|,dtheta

Passo 8

Fazendo a substituição u=tfractheta2 (com dtheta=2,du e u de 0 a pi), resulta
L=4integral0^2pil|cos(tfractheta2)r|,dtheta=8integral0^pi|cos u|,du

Passo 9

Como integral0^pi|cos u|,du=2, conclui-se que
L=8times2=16

Resposta

16

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