Encontre as primitivas das funções abaixo:
integral sen xcos ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva (ou antiderivada) da função sin xcos^3 x. O conteúdo envolve técnicas de integração por substituição, pois temos uma razão de funções trigonométricas onde a derivada do denominador aparece no numerador.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = cos x. Então, du = -sin x,dx, ou seja, sin x,dx = -du. Com isso, a integral passa a ser um polinômio em u.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral sin xcos^3 x,dx = integral -duu^3 = -integral u^-3,du
Agora basta aplicar a fórmula de potência para integrar u^-3.

Passo 4

Integrando, obtemos
-integral u^-3,du = -u^-2-2 + C = u^-22 + C
Voltando à variável x, como u = cos x, fica
12,cos^2 x + C
Podemos ainda usar sec x = 1/cos x e escrever a primitiva como tfrac12sec^2 x + C.

Resposta

12sec^2 x + C

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