Encontre as primitivas das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as primitivas da função $ \int e^{-2x} \sin x , dx $. Isso está relacionado ao cálculo integral, especificamente à integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Primitiva de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Então, queremos encontrar uma função $ F(x) $ tal que $ F’(x) = e^{-2x} \sin x $.
Passo 3
Vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher $ u $ e $ dv $. Vamos deixar:
Então, vamos calcular $ du $ e $ v $:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral $ \int e^{-2x} \cos x , dx $. Vamos novamente usar integração por partes. Desta vez, deixamos:
Então:
Passo 6
Aplicando a integração por partes de novo:
Simplificando:
Passo 7
Vamos substituir essa última expressão na equação que tínhamos no Passo 4:
Distribuindo o $ \frac{1}{2} $:
Passo 8
Agora, vamos chamar $ I = \int e^{-2x} \sin x , dx $. Então, a equação fica:
Vamos somar $ \frac{1}{4} I $ em ambos os lados:
Passo 9
Para isolar $ I $, multiplicamos ambos os lados por $ \frac{4}{5} $:
Simplificando:
Resposta
A primitiva de $ \int e^{-2x} \sin x , dx $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.