Encontre as primitivas das funções abaixo:
integral e^-2 x sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as primitivas da função $ \int e^{-2x} \sin x , dx $. Isso está relacionado ao cálculo integral, especificamente à integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma primitiva. Primitiva de uma função é outra função cuja derivada é a função original. Então, queremos encontrar uma função $ F(x) $ tal que $ F’(x) = e^{-2x} \sin x $.

Passo 3

Vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher $ u $ e $ dv $. Vamos deixar:
u
Então, vamos calcular $ du $ e $ v $:
dv

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^-2x sin x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores:
= sin x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cos x , dx
Simplificando:
= -12 e^-2x sin x + 12 integral e^-2x cos x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral $ \int e^{-2x} \cos x , dx $. Vamos novamente usar integração por partes. Desta vez, deixamos:
integral e^-2x cos x , dx
Então:
u = cos x e dv = e^-2x dx

Passo 6

Aplicando a integração por partes de novo:
integral e^-2x cos x , dx = cos x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) (-sin x) , dx
Simplificando:
= -12 e^-2x cos x - 12 integral e^-2x sin x , dx

Passo 7

Vamos substituir essa última expressão na equação que tínhamos no Passo 4:
integral e^-2x sin x , dx = -12 e^-2x sin x + 12 ( -12 e^-2x cos x - 12 integral e^-2x sin x , dx )
Distribuindo o $ \frac{1}{2} $:
12

Passo 8

Agora, vamos chamar $ I = \int e^{-2x} \sin x , dx $. Então, a equação fica:
I = integral e^-2x sin x , dx
Vamos somar $ \frac{1}{4} I $ em ambos os lados:
I = -12 e^-2x sin x - 14 e^-2x cos x - 14 I
14 I

Passo 9

Para isolar $ I $, multiplicamos ambos os lados por $ \frac{4}{5} $:
I
Simplificando:
45

Resposta

A primitiva de $ \int e^{-2x} \sin x , dx $ é:
integral e^-2x sin x , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

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