Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.)
r(t)=lang<=raizt, t, r^2), 1 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica r(t)=lang<=raiz t,,t,,t^2rang<= no intervalo 1<= t<=4. O conteúdo é comprimento de arco de função vetorial e vamos usar a fórmula L=integrala^b| r'(t)|,dt.

Passo 2

Derivamos componente a componente para achar r'(t): a derivada de raiz t é tfrac12raiz t, de t é 1 e de t^2 é 2t. Logo, r'(t)=l(tfrac12raiz t,,1,,2tr).

Passo 3

Calculamos a norma de r'(t) usando a fórmula da norma Euclidiana em R^3:
| r'(t)|=raizl(tfrac12raiz tr)^2+1^2+(2t)^2=raiztfrac14t+1+4t^2

Passo 4

Montamos a integral de comprimento de arco:
L=integral1^4raiztfrac14t+1+4t^2,dt
Como essa integral não tem primitiva em termos de funções elementares, vamos aproximar numericamente.

Passo 5

Aplicamos a Regra de Simpson com n=6 subintervalos (passo h=(4-1)/6=0,5). Primeiro calculamos
f(t)=raiztfrac14t+1+4t^2
os valores em t=1,1,5,2,2,5,3,3,5,4:
(f(1)=2{,}2913,\ f(1{,}5)=3{,}1886,\ f(2)=4{,}1389,\ f(2{,}5)=5{,}1089,\ f(3)=6{,}0901,\ f(3{,}5)=7{,}0790,\ f(4)=8{,}0660.]

Passo 6

Substituindo na fórmula de Simpson:
Lapproxh3l[f(1)+4f(1,5)+2f(2)+4f(2,5)+2f(3)+4f(3,5)+f(4)r]approx15,3869

Resposta

15.3869

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