Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.)
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
no intervalo
. O conteúdo é comprimento de arco de função vetorial e vamos usar a fórmula
.
Passo 2
Derivamos componente a componente para achar
: a derivada de
é
, de
é
e de
é
. Logo,
.
Passo 3
Calculamos a norma de
usando a fórmula da norma Euclidiana em
:
Passo 4
Montamos a integral de comprimento de arco:
Como essa integral não tem primitiva em termos de funções elementares, vamos aproximar numericamente.
Passo 5
Aplicamos a Regra de Simpson com
subintervalos (passo
). Primeiro calculamos
os valores em :
(f(1)=2{,}2913,\ f(1{,}5)=3{,}1886,\ f(2)=4{,}1389,\ f(2{,}5)=5{,}1089,\ f(3)=6{,}0901,\ f(3{,}5)=7{,}0790,\ f(4)=8{,}0660.]
os valores em
(f(1)=2{,}2913,\ f(1{,}5)=3{,}1886,\ f(2)=4{,}1389,\ f(2{,}5)=5{,}1089,\ f(3)=6{,}0901,\ f(3{,}5)=7{,}0790,\ f(4)=8{,}0660.]
Passo 6
Substituindo na fórmula de Simpson:
Resposta
15.3869