Encontre o comprimento da curva.
x=raizy-y, 1 <= y <= 4

Passo 1

A gente tem a curva dada pela função implícita em que x é função de y: x=raiz y - y, no intervalo 1<= y<=4. O conteúdo aqui é comprimento de curva em forma parametrizada por y (ou seja, x=f(y)), e vamos usar a fórmula do comprimento de arco para x=x(y):
L=integraly1^y2raiz1+l(dxdyr)^2,dy

Passo 2

Calcular dx/dy usando derivada de raiz y e derivada de y:
dxdy=12raiz y-1
Logo
1+l(dxdyr)^2=2-1raiz y+14y
então o comprimento vira
L=integral1^4raiz2-1raiz y+14y,dy

Passo 3

Para simplificar essa integral, fazemos y=t^2 (logo t=raiz y e dy=2t,dt), de modo que quando y vai de 1 a 4, t vai de 1 a 2. Substituindo,
L=integral1^2raiz8t^2-4t+1,dt

Passo 4

Agora vamos completar o quadrado em 8t^2-4t+1:
8t^2-4t+1=8l(t-tfrac14r)^2+tfrac12 =tfrac12l((4t-1)^2+1r)
Assim
raiz8t^2-4t+1=1raiz2raiz(4t-1)^2+1

Passo 5

Fazendo a substituição u=4t-1, temos du=4,dt e os limites passam de t=1to u=3, t=2to u=7. A integral fica
L=14raiz2integral3^7raizu^2+1,du

Passo 6

Usamos a primitiva padrão de raizu^2+1:
integralraizu^2+1,du=u2raizu^2+1+12lnl(u+raizu^2+1r)+C
Aplicando nos limites de 3 a 7 e multiplicando por 1/(4raiz2)

Passo 7

L=18raiz2l[35raiz2-3raiz10+lnl(tfrac7+5raiz23+raiz10r)r]

Resposta

L=18raiz2l(35raiz2-3raiz10+lnl(tfrac7+5raiz23+raiz10r)r)

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