Encontre o comprimento da curva.
Passo 1
A gente tem a curva dada pela função implícita em que x é função de y:
, no intervalo
. O conteúdo aqui é comprimento de curva em forma parametrizada por
(ou seja,
), e vamos usar a fórmula do comprimento de arco para
:
Passo 2
Calcular
usando derivada de
e derivada de
:
Logo
então o comprimento vira
Passo 3
Para simplificar essa integral, fazemos
(logo
e
), de modo que quando
vai de 1 a 4,
vai de 1 a 2. Substituindo,
Passo 4
Agora vamos completar o quadrado em
:
Assim
Passo 5
Fazendo a substituição
, temos
e os limites passam de
,
. A integral fica
Passo 6
Usamos a primitiva padrão de
:
Aplicando nos limites de 3 a 7 e multiplicando por
dá