Seja e . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de A=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1 em torno da reta ln (x+1)+2 <= y <= e^x+4.

Passo 1

O enunciado fala de um conjunto A no plano definido por 0≤x≤1 e ln(x+1)+2≤y≤e^x+4, e quer o volume do sólido gerado pela rotação de A em torno da reta y=2. O conteúdo principal é o método dos anéis (ou discos com furo) para volume de revolução, usando a fórmula V=integrala^b pil(R(x)^2-r(x)^2r),dx.

Passo 2

Identificamos o raio externo (distância da curva superior ao eixo y=2) e o raio interno (distância da curva inferior ao eixo y=2):
Raio externo:
R(x)=l(e^x+4r)-2=e^x+2
Raio interno:
r(x)=l(ln(x+1)+2r)-2=ln(x+1)
Então
V=integral0^1 pil[(e^x+2)^2-l(ln(x+1)r)^2r]dx

Passo 3

Expandindo o integrando e separando as integrais, temos
(e^x+2)^2=e^2x+4e^x+4
Logo
V=piintegral0^1 l(e^2x+4e^x+4r)dx;- piintegral0^1l(ln(x+1)r)^2dx

Passo 4

Calculamos as partes fáceis:
integral0^1 e^2xdx=e^2-12, integral0^1 e^xdx=e-1, integral0^1 4,dx=4
E para
I=integral0^1[ln(x+1)]^2dx, fazemos t=x+1 (t de 1 a 2) e integração por partes:
I=integral1^2(ln t)^2dt=2(ln2)^2-4ln2+2

Passo 5

Substituindo tudo em V e colocando sobre denominador comum 2, obtemos
V=pil[e^2-12+4(e-1)+4-l(2(ln2)^2-4ln2+2r)r] =pi2l(e^2+8e-4(ln2)^2+8ln2-5r)

Resposta

V=tfracpi2l(e^2+8e-4(ln2)^2+8ln2-5r).

Exercícios relacionados