Seja e . Determine o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado fala de um conjunto A no plano definido por 0≤x≤1 e ln(x+1)+2≤y≤e^x+4, e quer o volume do sólido gerado pela rotação de A em torno da reta y=2. O conteúdo principal é o método dos anéis (ou discos com furo) para volume de revolução, usando a fórmula
.
Passo 2
Identificamos o raio externo (distância da curva superior ao eixo y=2) e o raio interno (distância da curva inferior ao eixo y=2):
Raio externo:
Raio interno:
Então
Passo 3
Expandindo o integrando e separando as integrais, temos
Logo
Passo 4
Calculamos as partes fáceis:
E para
, fazemos t=x+1 (t de 1 a 2) e integração por partes:
Passo 5
Substituindo tudo em V e colocando sobre denominador comum 2, obtemos