Esboce a curva
x=t cos t+sen t y=t sen t-cos t -pi <= t <= pi
E então utilize o SCA ou uma tabela de integrais para encontrar o comprimento exato da curva.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva parametrizada por
x=t\cos t+\sin t e y=t\sin t-\cos t para t variando de -\pi a \pi, e depois calcular o comprimento de arco exato. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de curva paramétrica: vamos precisar das derivadas x’(t) e y’(t), da fórmula L=integrala^braiz(x')^2+(y')^2,dt e de uma integral padrão (tabela ou SCA).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:
x'(t)=ddtl(tcos t+sin tr)=cos t -tsin t+cos t=2cos t -tsin t,
y'(t)=ddtl(tsin t-cos tr)=sin t +tcos t+sin t=2sin t +tcos t
Aqui usamos a regra do produto e a derivada de seno e cosseno.

Passo 3

Agora somamos os quadrados para achar a velocidade:
(x')^2+(y')^2=(2cos t -tsin t)^2+(2sin t +tcos t)^2
Expandindo e usando sin^2t+cos^2t=1 e observando que os termos cruzados se cancelam, obtemos
(x')^2+(y')^2=4+t^2
Portanto a velocidade é raiz4+t^2.

Passo 4

O comprimento de arco é
L=integral-pi^piraizt^2+4,dt
Como a função raizt^2+4 é par, usamos simetria para escrever
L=2integral0^piraizt^2+4,dt

Passo 5

Para avaliar integralraizt^2+4,dt recorremos à tabela de integrais (ou SCA) que dá
integralraizt^2+a^2,dt=t2raizt^2+a^2+a^22lnl|t+raizt^2+a^2r|+C
Aqui a=2.

Passo 6

Aplicando os limites de 0 a \pi e multiplicando por 2, temos
L=2l[t2raizt^2+4+2lnl(t+raizt^2+4r)r]0^pi =piraizpi^2+4+4lnl(pi+raizpi^2+42r)

Resposta

L=\pi\sqrt{\pi2+4}+4\ln\bigl(\tfrac{\pi+\sqrt{\pi2+4}}{2}\bigr)

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