Esboce a curva
E então utilize o SCA ou uma tabela de integrais para encontrar o comprimento exato da curva.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva parametrizada por
x=t\cos t+\sin t e y=t\sin t-\cos t para t variando de -\pi a \pi, e depois calcular o comprimento de arco exato. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de curva paramétrica: vamos precisar das derivadas x’(t) e y’(t), da fórmula e de uma integral padrão (tabela ou SCA).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas:
Aqui usamos a regra do produto e a derivada de seno e cosseno.
Passo 3
Agora somamos os quadrados para achar a velocidade:
Expandindo e usando e observando que os termos cruzados se cancelam, obtemos
Portanto a velocidade é .
Passo 4
O comprimento de arco é
Como a função é par, usamos simetria para escrever
Passo 5
Para avaliar recorremos à tabela de integrais (ou SCA) que dá
Aqui a=2.
Passo 6
Aplicando os limites de 0 a \pi e multiplicando por 2, temos