A questão pede para encontrar o comprimento da curva y = ln(cos x) no intervalo 0 ≤ x ≤ π/3. O conteúdo envolvido é a fórmula de comprimento de arco de função y = f(x), que exige calcular a derivada e aplicar a integral do tipo √(1 + (y’)²).
Passo 2
Primeiro vamos achar a derivada de y = ln(cos x). Pela regra da cadeia e derivada do cosseno, temos y’ = (1/cos x)·(–sin x), ou seja, y’ = –tan x.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de comprimento de arco:
A fórmula geral é
Substituindo y’ = –tan x, obtemos
Passo 4
Para calcular , lembramos que sua primitiva é
Passo 5
Fazendo a avaliação nos limites de 0 a π/3:
Em x = π/3 temos sec(π/3)=2 e tan(π/3)=raiz3, então sec+tan=2+raiz3.
Em x = 0 temos sec0=1 e tan0=0, logo sec+tan=1.
Portanto