Encontre o comprimento da curva.
y=ln (cos x), 0 <= x <= pi / 3

Passo 1

A questão pede para encontrar o comprimento da curva y = ln(cos x) no intervalo 0 ≤ x ≤ π/3. O conteúdo envolvido é a fórmula de comprimento de arco de função y = f(x), que exige calcular a derivada e aplicar a integral do tipo √(1 + (y’)²).

Passo 2

Primeiro vamos achar a derivada de y = ln(cos x). Pela regra da cadeia e derivada do cosseno, temos y’ = (1/cos x)·(–sin x), ou seja, y’ = –tan x.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de comprimento de arco:
A fórmula geral é
L = integrala^b raiz1 + (y')^2,dx
Substituindo y’ = –tan x, obtemos
L = integral0^pi/3 raiz1 + tan^2 x,dx = integral0^pi/3 sec x,dx

Passo 4

Para calcular integral sec x,dx, lembramos que sua primitiva é
integral sec x,dx = lnl|sec x + tan xr| + C

Passo 5

Fazendo a avaliação nos limites de 0 a π/3:
Em x = π/3 temos sec(π/3)=2 e tan(π/3)=raiz3, então sec+tan=2+raiz3.
Em x = 0 temos sec0=1 e tan0=0, logo sec+tan=1.
Portanto
L = ln(2+raiz3) - ln1 = ln(2+raiz3)

Resposta

ln(2+raiz3)

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