Use o critério de comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
integral0^+infty arctan x2+e^x d x

Passo 1

A gente quer estudar a integral imprópria
integral0^+infty arctan x2+e^x,dx
usando o critério de comparação. O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias, e vamos precisar investigar o comportamento do integrando perto de 0 e de +∞ e compará-lo com funções mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Perto de x=0 a gente nota que arctan xsim x quando x é pequeno. Além disso 2+e^x tende a 2+1=3. Então para x próximo de 0
arctan x2+e^xapprox x3
e como integral0^1 x,dx converge, a parte perto de 0 não traz divergência.

Passo 3

Para x→+∞, sabemos que arctan x fica sempre abaixo de tfracpi2 e que 2+e^x>= e^x. Logo
0<= arctan x2+e^x<= pi/2e^x = pi2 e^-x
Como integral1^+infty e^-x,dx converge (é igual a e^-1), pelo critério da comparação a parte de +∞ também converge.

Passo 4

Juntando as duas regiões (0 a 1 e 1 a +∞) vemos que não há nenhum comportamento divergente. Portanto, a integral inteira converge.

Resposta

A integral é convergente.

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