Use o critério de comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Passo 1
A gente quer estudar a integral imprópria
usando o critério de comparação. O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias, e vamos precisar investigar o comportamento do integrando perto de 0 e de +∞ e compará-lo com funções mais simples que a gente já sabe integrar.
Passo 2
Perto de x=0 a gente nota que
quando x é pequeno. Além disso
tende a
. Então para x próximo de 0
e como
converge, a parte perto de 0 não traz divergência.
Passo 3
Para x→+∞, sabemos que
fica sempre abaixo de
e que
. Logo
Como
converge (é igual a
), pelo critério da comparação a parte de +∞ também converge.
Passo 4
Juntando as duas regiões (0 a 1 e 1 a +∞) vemos que não há nenhum comportamento divergente. Portanto, a integral inteira converge.
Resposta
A integral é convergente.