Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
A=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 2 e e^-x <= y <= e^x

Passo 1

Temos o conjunto A=(x,y)inR^2mid 0<= x<=2, e^-x<= y<= e^x e queremos o volume do sólido obtido pela rotação desse conjunto em torno do eixo Ox. O conteúdo é volume de revolução usando o método de discos, cuja fórmula é:
V=piintegrala^bl[f(x)^2 - g(x)^2r],dx

Passo 2

Identificamos as funções que definem as “bordas” do sólido: a função superior é f(x)=e^x, a inferior é g(x)=e^-x, e os limites de integração são a=0 e b=2.

Passo 3

Montamos a integral do volume substituindo f(x) e g(x) na fórmula de discos:
V=piintegral0^2l[(e^x)^2 - (e^-x)^2r],dx = piintegral0^2l(e^2x - e^-2xr),dx

Passo 4

Calculamos a antiderivada do integrando:
integrall(e^2x - e^-2xr),dx = 12e^2x + 12e^-2x

Passo 5

Avaliamos a antiderivada de x=0 a x=2 e simplificamos:
V=pi[12e^2x + 12e^-2x]0^2 = pi2l(e^4 + e^-4 - 2r)

Resposta

V = pi2l(e^4 + e^-4 - 2r).

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