Encontre o comprimento da curva
y=x^56+110 x^3, 0 <= x <= 2, y>0;

Passo 1

A questão pede o comprimento de arco da curva y=tfracx^56+tfrac110x^3 para 0. O conteúdo é comprimento de curva de função y=f(x) e vamos precisar da fórmula L=integrala^braiz1+(y')^2,dx e do cálculo de y'.

Passo 2

Derivamos y em relação a x:
y' = ddxl(x^56 + 110x^3r) = 5x^46 - 310x^4

Passo 3

Montamos o integral de comprimento:
L = integral0^2 raiz1 + (y')^2,dx = integral0^2 raiz1 + l(5x^46 - 310x^4r)^2,dx

Passo 4

Percebemos que
1 + l(tfrac5x^46 - tfrac310x^4r)^2 = l(tfrac5x^46 + tfrac310x^4r)^2,
pois o termo misto satisfaz 2cdottfrac5x^46cdottfrac310x^4=tfrac12. Logo
raiz1+(y')^2 = 5x^46 + 310x^4

Passo 5

Integramos o integrando simplificado:
integral l(5x^46 + 310x^4r)dx = 56cdotx^55 + 310cdotx^-3-3 = x^56 - 110x^3 + C

Passo 6

Avaliando entre x=0^+ e x=2:
  • Em x=2: F(2)=tfrac2^56-tfrac110cdot2^3=tfrac163-tfrac180,
  • Em xto0^+: F(x)=tfracx^56-tfrac110x^3to-infty
    Então
L = limxto2F(x) - limxto0^+F(x) = (valor finito) - (-infty) = +infty

Passo 7

Como o integral diverge no limite inferior, concluímos que o comprimento da curva não é finito.

Resposta

O comprimento da curva diverge, isto é, é infinito.

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