Escreva a forma adequada da regra da cadeia para todas as possíveis derivadas das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para escrever as fórmulas da regra da cadeia para a derivada de uma função composta no caso de y dependente de x e x dependente de t. O conteúdo é derivação de funções compostas e vamos precisar usar a regra da cadeia sucessivamente.
Passo 2
Para a primeira derivada, aplicamos a regra da cadeia básica: a taxa de variação de y em relação a t é a derivada de y em relação a x vezes a derivada de x em relação a t. Assim obtemos
Passo 3
Para a segunda derivada, derivamos
em relação a t, lembrando que
é função de x(t) e também há
. Usamos a regra do produto e a cadeia em
. O resultado é
Passo 4
Para a terceira derivada, repetimos o procedimento: derivamos
em relação a t, usando regra do produto e da cadeia em cada termo. Chegamos a
Resposta
As fórmulas da regra da cadeia para y=y(x(t)) são: