Escreva a forma adequada da regra da cadeia para todas as possíveis derivadas das funções abaixo.
y=y(x(t))

Passo 1

O enunciado pede para escrever as fórmulas da regra da cadeia para a derivada de uma função composta no caso de y dependente de x e x dependente de t. O conteúdo é derivação de funções compostas e vamos precisar usar a regra da cadeia sucessivamente.

Passo 2

Para a primeira derivada, aplicamos a regra da cadeia básica: a taxa de variação de y em relação a t é a derivada de y em relação a x vezes a derivada de x em relação a t. Assim obtemos
dydt=dydxcdotdxdt

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos dy/dt em relação a t, lembrando que dy/dx é função de x(t) e também há dx/dt. Usamos a regra do produto e a cadeia em d/dtl(dy/dxr) = d^2y/dx^2cdot dx/dt. O resultado é
d^2ydt^2=d^2ydx^2gl(dxdtgr)^2 + dydxcdotd^2xdt^2

Passo 4

Para a terceira derivada, repetimos o procedimento: derivamos d^2y/dt^2 em relação a t, usando regra do produto e da cadeia em cada termo. Chegamos a
d^3ydt^3=d^3ydx^3gl(dxdtgr)^3 + 3d^2ydx^2dxdtd^2xdt^2 + dydxcdotd^3xdt^3

Resposta

As fórmulas da regra da cadeia para y=y(x(t)) são:
dydt=dydxcdotdxdt,
d^2ydt^2=d^2ydx^2l(dxdtr)^2+dydxcdotd^2xdt^2,
d^3ydt^3=d^3ydx^3l(dxdtr)^3+3d^2ydx^2dxdtd^2xdt^2+dydxcdotd^3xdt^3

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