Use coordenadas polares para mostrar que a integral dupla integral duplaR 2 xraizx^2+y^2 d A=1, onde R é a região no primeiro quadrante do plano- x y limitada por x^2+y^2=1.

Passo 1

Estamos trabalhando com uma integral dupla sobre a região R no primeiro quadrante limitada pelo círculo de raio 1, ou seja, \R = {(x,y): x\ge0, y\ge0, x^2 + y^2 \le 1}, e queremos calcular \ \displaystyle \iint_{R} \frac{2x}{\sqrt{x2+y2}} ,dA \ usando coordenadas polares.

Passo 2

Para passar a integral para coordenadas polares, lembramos que temos \ x = r\cos\theta, \ y = r\sin\theta \ e o elemento de área \ dA = r ,dr ,d\theta. \Como R está no primeiro quadrante e dentro do círculo de raio 1, os limites são \ 0 \le r \le 1 \ e \ 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Agora substituímos o integrando e o jacobiano. Primeiro, \ \displaystyle \frac{2x}{\sqrt{x2+y2}} = \frac{2(r\cos\theta)}{r} = 2\cos\theta. \ Então a integral vira: \ \displaystyle \int_{\theta=0}{\pi/2}\int_{r=0}{1} 2\cos\theta \cdot r ,dr ,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em r: \ \displaystyle \int_{0}^{1} 2\cos\theta \cdot r ,dr = 2\cos\theta \int_{0}^{1} r ,dr = 2\cos\theta \left[\tfrac{r2}{2}\right]_{0}{1} = 2\cos\theta \cdot \tfrac{1}{2} = \cos\theta.

Passo 5

Agora resta integrar em \theta: \ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta ,d\theta = [\sin\theta]_{0}^{\pi/2} = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \sin(0) = 1 - 0 = 1.

Resposta

1

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