Se z=f(x, y), o vetor denotado por nabla f(a, b) e definido por
nabla f(a, b)=partial fpartial x(a, b) i+partial fpartial y(a, b) j,
é chamado de vetor gradiente de f no ponto (a, b). Para a função f(x, y)=y e^x / y, calcule nabla f(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor gradiente de uma função de duas variáveis no ponto (0,1). O conteúdo é derivadas parciais e aplicação das regras de derivação (regra do produto e cadeia).

Passo 2

Vamos primeiro achar partial fpartial x(x,y). Como f(x,y)=y,e^x/y, tratamos y como constante e aplicamos regra da cadeia:
partial fpartial x(x,y)=ycdot e^x/ycdotpartialpartial xl(tfracxyr)=y,e^x/ycdot1y=e^x/y

Passo 3

Agora calculamos partial fpartial y(x,y). Aqui usamos regra do produto em y e e^x/y junto com regra da cadeia na parte exponencial:
partial fpartial y(x,y)=e^x/y+ycdot e^x/ycdotpartialpartial yl(tfracxyr) = e^x/y+y,e^x/ycdotl(-tfracxy^2r)=e^x/y-xye^x/y=e^x/yl(1-tfracxyr)

Passo 4

Finalmente, avaliamos ambas as derivadas no ponto (0,1):
partial fpartial x(0,1)=e^0=1, partial fpartial y(0,1)=e^0(1-0)=1

Resposta

nabla f(0,1)=i+j

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