Encontre o comprimento exato da curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
com a condição
no intervalo
. A pergunta é: encontrar o comprimento exato da porção dessa curva para
variando de
até
.
Informações relevantes:
- A equação e a condição
implicam que tomamos a rama positiva da curva. - O intervalo de integração é
em . - Precisamos do comprimento de arco da curva nesse trecho.
Passo 2
Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma função
diferenciável em
:
Breve explicação do porquê: aproximamos a curva por pequenos segmentos de reta; para um pequeno incremento
a variação em
é
, então o comprimento do segmento é
. Somando e passando ao limite obtemos a integral acima. Aqui
é a derivada de
em relação a
, ou seja, a inclinação instantânea da curva.
Precisamos, portanto, escrever
como função de
e calcular
.
Passo 3
Da equação
e usando
, isolamos
:
Agora derivamos passo a passo usando a regra da cadeia. Seja
. Então
Multiplicando pelo coeficiente
temos
Passo 4
Substituímos
na expressão do integrando:
Fazendo a soma:
Portanto o integrando fica
.
Passo 5
O comprimento é
Para calcular essa integral, fazemos a substituição linear usual. Defina
Então
Mudança dos limites: quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 6
Aplicamos a regra de potência para integrar
:
Logo
Observação útil para escrever de forma mais explícita:
, então uma forma equivalente é
Passo 7
Checagem rápida: o integrando
é positivo e contínuo em
, a integral é bem definida e o resultado acima é exato (não aproximado). Não há simplificação racional adicional comum entre
e
, então a forma final em radicais é adequada como comprimento exato.