Encontre o comprimento exato da curva.
y^{2}=4(x+4)^{3}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 2, \quad y>0

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por \;y^{2}=4(x+4)^{3}\; com a condição \;y>0\; no intervalo \;0\le x\le 2. A pergunta é: encontrar o comprimento exato da porção dessa curva para x variando de \;0 até \;2.
Informações relevantes:
  • A equação e a condição y>0 implicam que tomamos a rama positiva da curva.
  • O intervalo de integração é [0,2] em x.
  • Precisamos do comprimento de arco da curva nesse trecho.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do comprimento de arco para uma função y=f(x) diferenciável em [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Breve explicação do porquê: aproximamos a curva por pequenos segmentos de reta; para um pequeno incremento dx a variação em y é dy=f'(x)\,dx, então o comprimento do segmento é \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx. Somando e passando ao limite obtemos a integral acima. Aqui f'(x) é a derivada de y em relação a x, ou seja, a inclinação instantânea da curva.
Precisamos, portanto, escrever y como função de x e calcular y'.

Passo 3

Da equação \;y^{2}=4(x+4)^{3} e usando y>0, isolamos y:
y=2(x+4)^{3/2}.
Agora derivamos passo a passo usando a regra da cadeia. Seja g(x)=(x+4)^{3/2}. Então
g'(x)=\frac{3}{2}(x+4)^{1/2}.
Multiplicando pelo coeficiente 2 temos
y'=2\cdot g'(x)=2\cdot\frac{3}{2}(x+4)^{1/2}=3(x+4)^{1/2}.

Passo 4

Substituímos y' na expressão do integrando:
1+\bigl(y'\bigr)^{2}=1+\bigl(3(x+4)^{1/2}\bigr)^{2}=1+9(x+4).
Fazendo a soma:
1+9(x+4)=9x+36+1=9x+37.
Portanto o integrando fica \sqrt{9x+37}.

Passo 5

O comprimento é
L=\int_{0}^{2}\sqrt{9x+37}\,dx.
Para calcular essa integral, fazemos a substituição linear usual. Defina
u=9x+37.
Então
du=9\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{9}.
Mudança dos limites: quando x=0, u=37; quando x=2, u=9\cdot2+37=55. Assim
L=\int_{u=37}^{u=55}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{9}=\frac{1}{9}\int_{37}^{55}u^{1/2}\,du.

Passo 6

Aplicamos a regra de potência para integrar u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
L=\frac{1}{9}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{37}^{55}=\frac{2}{27}\bigl(55^{3/2}-37^{3/2}\bigr).
Observação útil para escrever de forma mais explícita: u^{3/2}=u\sqrt{u}, então uma forma equivalente é
L=\frac{2}{27}\bigl(55\sqrt{55}-37\sqrt{37}\bigr).

Passo 7

Checagem rápida: o integrando \sqrt{9x+37} é positivo e contínuo em [0,2], a integral é bem definida e o resultado acima é exato (não aproximado). Não há simplificação racional adicional comum entre \sqrt{55} e \sqrt{37}, então a forma final em radicais é adequada como comprimento exato.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{27}\bigl(55^{3/2}-37^{3/2}\bigr)
\displaystyle =\frac{2}{27}\bigl(55\sqrt{55}-37\sqrt{37}\bigr)

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