Escreva uma integral para o comprimento da curva. Use sua calculadora para encontrar o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
O que o problema pede:
- Escrever uma integral que represente o comprimento da curva.
- Calcular numericamente esse comprimento com precisão de quatro casas decimais.
Informações dadas:
- A curva é dada por
. - O intervalo para
é .
Passo 2
Fórmula para o comprimento quando
é função de
:
Explicando: aqui
é a derivada de
em relação a
; o integrando
mede a “hipotenusa infinitesimal” de um pequeno deslocamento da curva (pensando em
e
).
Calcule
para a nossa curva:
Assim a integral para o comprimento é
Passo 3
Para simplificar a integração é conveniente parametrizar com
. Vamos explicar e aplicar:
- Defina
. Então e . - Os limites: se
então ; se então . - Em termos de
, .
Usamos a fórmula de comprimento para curva parametrizada por
:
Calcule as derivadas:
Portanto o integrando fica
Logo
Passo 4
Simplificação algébrica do integrando (completar quadrado):
Escrevendo de forma conveniente:
Faça a substituição
. Então
e quando
, quando
. Assim
Passo 5
Integral padrão e sua primitiva:
A primitiva conhecida é
A primitiva conhecida é
Comentário rápido (mini-aula): essa fórmula pode ser obtida por substituição hiperbólica
ou por integração por partes aplicando
. O importante é memorizar essa primitiva ou saber derivá-la rápido na prova.
Aplicando aos limites
e
:
Passo 6
Simplificação simbólica (para facilitar cálculo numérico):
Calcule explicitamente a diferença e simplifique usando :
Calcule explicitamente a diferença e simplifique usando
Agrupando fatores:
Usando
e
, obtemos a forma mais limpa
Essa expressão é exata e facilita a avaliação numérica com calculadora.
Passo 7
Avaliação numérica (uso de calculadora) — calculos intermediários:
-
então . - Calcule o argumento do log:
-
. - Coeficiente
. - Produto do coeficiente pelo log:
.
Somando as partes:
Arredondando com precisão de quatro casas decimais (observando o quinto algarismo para arredondar):
Resposta
3,6095