Escreva uma integral para o comprimento da curva. Use sua calculadora para encontrar o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais.
x=\sqrt{y}-y, \quad 1 \leqslant y \leqslant 4

Passo 1

O que o problema pede:
  • Escrever uma integral que represente o comprimento da curva.
  • Calcular numericamente esse comprimento com precisão de quatro casas decimais.
Informações dadas:
  • A curva é dada por x=\sqrt{y}-y.
  • O intervalo para y é 1\leqslant y\leqslant 4.

Passo 2

Fórmula para o comprimento quando x é função de y:
L=\int_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\,dy.
Explicando: aqui \frac{dx}{dy} é a derivada de x em relação a y; o integrando \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} mede a “hipotenusa infinitesimal” de um pequeno deslocamento da curva (pensando em dx e dy).
Calcule \dfrac{dx}{dy} para a nossa curva:
x=\sqrt{y}-y \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}\big(\sqrt{y}\big)-\frac{d}{dy}(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}-1.
Assim a integral para o comprimento é
L=\int_{1}^{4}\sqrt{1+\left(\frac{1}{2\sqrt{y}}-1\right)^2}\,dy.

Passo 3

Para simplificar a integração é conveniente parametrizar com t=\sqrt{y}. Vamos explicar e aplicar:
  • Defina t=\sqrt{y}. Então y=t^2 e dy=2t\,dt.
  • Os limites: se y=1 então t=1; se y=4 então t=2.
  • Em termos de t, x=t-t^2.
Usamos a fórmula de comprimento para curva parametrizada por t:
L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.
Calcule as derivadas:
\frac{dx}{dt}=1-2t,\qquad \frac{dy}{dt}=2t.
Portanto o integrando fica
\sqrt{(1-2t)^2+(2t)^2}=\sqrt{1-4t+4t^2+4t^2}=\sqrt{8t^2-4t+1}.
Logo
L=\int_{1}^{2}\sqrt{8t^2-4t+1}\,dt.

Passo 4

Simplificação algébrica do integrando (completar quadrado):
8t^2-4t+1 = 8\left(t-\tfrac{1}{4}\right)^2+\tfrac{1}{2}.
Escrevendo de forma conveniente:
8t^2-4t+1=\tfrac{1}{2}\Big(1+(4t-1)^2\Big).
Faça a substituição s=4t-1. Então ds=4\,dt e quando t=1\Rightarrow s=3, quando t=2\Rightarrow s=7. Assim
L=\int_{1}^{2}\sqrt{\tfrac{1}{2}\big(1+(4t-1)^2\big)}\,dt =\frac{1}{4\sqrt{2}}\int_{3}^{7}\sqrt{1+s^2}\,ds.

Passo 5

Integral padrão e sua primitiva:
A primitiva conhecida é
\int \sqrt{1+s^2}\,ds=\frac{s}{2}\sqrt{1+s^2}+\frac{1}{2}\ln\!\big(s+\sqrt{1+s^2}\big)+C.
Comentário rápido (mini-aula): essa fórmula pode ser obtida por substituição hiperbólica s=\operatorname{sinh} u ou por integração por partes aplicando u=\sqrt{1+s^2}. O importante é memorizar essa primitiva ou saber derivá-la rápido na prova.
Aplicando aos limites s=3 e s=7:
L=\frac{1}{4\sqrt{2}}\Bigg[\frac{s}{2}\sqrt{1+s^2}+\frac{1}{2}\ln\!\big(s+\sqrt{1+s^2}\big)\Bigg]_{3}^{7}.

Passo 6

Simplificação simbólica (para facilitar cálculo numérico):
Calcule explicitamente a diferença e simplifique usando \sqrt{50}=5\sqrt{2}:
L=\frac{1}{4\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}\Big(7\sqrt{50}-3\sqrt{10}+\ln\!\frac{7+\sqrt{50}}{3+\sqrt{10}}\Big).
Agrupando fatores:
L=\frac{1}{8\sqrt{2}}\Big(7\cdot 5\sqrt{2}-3\sqrt{10}+\ln\!\frac{7+5\sqrt{2}}{3+\sqrt{10}}\Big).
Usando 7\cdot 5\sqrt{2}=35\sqrt{2} e \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}, obtemos a forma mais limpa
L=\frac{35-3\sqrt{5}}{8}+\frac{1}{8\sqrt{2}}\ln\!\frac{7+5\sqrt{2}}{3+\sqrt{10}}.
Essa expressão é exata e facilita a avaliação numérica com calculadora.

Passo 7

Avaliação numérica (uso de calculadora) — calculos intermediários:
  • \sqrt{5}\approx 2,23606797749979 então \dfrac{35-3\sqrt{5}}{8}\approx 3,5364745084375789.
  • Calcule o argumento do log: 7+5\sqrt{2}\approx 14,071067811865476,\qquad 3+\sqrt{10}\approx 6,1622776601683795,
\frac{7+5\sqrt{2}}{3+\sqrt{10}}\approx 2,284037\dots
  • \ln\!\frac{7+5\sqrt{2}}{3+\sqrt{10}}\approx 0,825674134389919.
  • Coeficiente \dfrac{1}{8\sqrt{2}}\approx 0,08838834764831845.
  • Produto do coeficiente pelo log: \approx 0,0729799724574136.
Somando as partes:
L\approx 3,5364745084375789 + 0,0729799724574136 \approx 3,6094544808949925.
Arredondando com precisão de quatro casas decimais (observando o quinto algarismo para arredondar):
L\approx 3,6095.

Resposta

3,6095

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