Se f for contínua em \mathbb{R}, demonstre que
\int_{a}^{b} f(x+c) d x=\int_{a+c}^{b+c} f(x) d x .

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
\int_{a}^{b} f(x+c)\,dx=\int_{a+c}^{b+c} f(x)\,dx
para uma função f contínua em \mathbb{R}. Dados fornecidos e o que é pedido:
  • Temos uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua em todo \mathbb{R}.
  • a, b e c são números reais quaisquer (os limites de integração e o deslocamento).
  • A tarefa: mostrar que integrar f sobre [a,b] depois de deslocar a variável por c é o mesmo que integrar f sobre o intervalo [a+c,b+c].

Passo 2

Lembra da ideia-chave: uma função contínua tem antiderivada (isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo). Vou construir explicitamente uma antiderivada de f para usar depois. Defina, para um ponto fixo x_0\in\mathbb{R},
F(x)=\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt.
Aqui a integral é a integral de Riemann (ou de Lebesgue dependendo do seu curso), mas o ponto importante é: como f é contínua, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que F é diferenciável e que
F'(x)=f(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Explicando isso de forma bem didática: a definição de F dá uma função cujo incremento médio sobre um pequeno intervalo cerca x é dado pela média de f nesse intervalo; pela continuidade de f, essa média tende a f(x) quando o intervalo encolhe, e isso é exatamente a afirmação de F'(x)=f(x).

Passo 3

Agora faça uma composição simples para obter uma antiderivada de x\mapsto f(x+c). Defina
G(x)=F(x+c).
Vou calcular a derivada de G. Pela regra da cadeia (aqui a parte simples: a função x\mapsto x+c tem derivada 1), temos
G'(x)=\frac{d}{dx}F(x+c)=F'(x+c)\cdot\frac{d}{dx}(x+c)=F'(x+c)\cdot 1=F'(x+c).
Usando F'(y)=f(y) com y=x+c, obtemos
G'(x)=f(x+c).
Então G é uma antiderivada de x\mapsto f(x+c).

Passo 4

Use agora o Teorema Fundamental do Cálculo versão que diz: se H é uma antiderivada de uma função contínua h num intervalo que contém a e b, então
\int_{a}^{b} h(x)\,dx = H(b)-H(a).
Aplicando isso à função h(x)=f(x+c) e à sua antiderivada G que acabamos de construir, obtemos
\int_{a}^{b} f(x+c)\,dx = G(b)-G(a).

Passo 5

Substitua G(x)=F(x+c) em G(b)-G(a). Então
G(b)-G(a)=F(b+c)-F(a+c).
Mas F é uma antiderivada de f, logo novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
F(b+c)-F(a+c)=\int_{a+c}^{b+c} f(x)\,dx.
Juntando as igualdades do Passo 4 e deste passo obtemos exatamente
\int_{a}^{b} f(x+c)\,dx=\int_{a+c}^{b+c} f(x)\,dx.

Passo 6

Comentário prático (útil para prova): uma maneira alternativa, equivalente e muitas vezes mais direta para fazer esse raciocínio na hora é usar a mudança de variável u=x+c. Fazendo u=x+c implica du=dx, quando x=a temos u=a+c e quando x=b temos u=b+c; então
\int_{a}^{b} f(x+c)\,dx=\int_{a+c}^{b+c} f(u)\,du,
que é a mesma identidade. Essa troca é justificada porque a transformação x\mapsto x+c é bijetora e contínua com derivada 1, e essa é a ideia por trás da regra de substituição em integrais.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x+c)\,dx=\int_{a+c}^{b+c} f(x)\,dx

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