Se
for contínua em
, demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a igualdade
para uma função
contínua em
. Dados fornecidos e o que é pedido:
- Temos uma função
contínua em todo . -
, e são números reais quaisquer (os limites de integração e o deslocamento). - A tarefa: mostrar que integrar
sobre depois de deslocar a variável por é o mesmo que integrar sobre o intervalo .
Passo 2
Lembra da ideia-chave: uma função contínua tem antiderivada (isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo). Vou construir explicitamente uma antiderivada de
para usar depois. Defina, para um ponto fixo
,
Aqui a integral é a integral de Riemann (ou de Lebesgue dependendo do seu curso), mas o ponto importante é: como
é contínua, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que
é diferenciável e que
Explicando isso de forma bem didática: a definição de
dá uma função cujo incremento médio sobre um pequeno intervalo cerca
é dado pela média de
nesse intervalo; pela continuidade de
, essa média tende a
quando o intervalo encolhe, e isso é exatamente a afirmação de
.
Passo 3
Agora faça uma composição simples para obter uma antiderivada de
. Defina
Vou calcular a derivada de
. Pela regra da cadeia (aqui a parte simples: a função
tem derivada 1), temos
Usando
com
, obtemos
Então
é uma antiderivada de
.
Passo 4
Use agora o Teorema Fundamental do Cálculo versão que diz: se
é uma antiderivada de uma função contínua
num intervalo que contém
e
, então
Aplicando isso à função
e à sua antiderivada
que acabamos de construir, obtemos
Passo 5
Substitua
em
. Então
Mas
é uma antiderivada de
, logo novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Juntando as igualdades do Passo 4 e deste passo obtemos exatamente
Passo 6
Comentário prático (útil para prova): uma maneira alternativa, equivalente e muitas vezes mais direta para fazer esse raciocínio na hora é usar a mudança de variável
. Fazendo
implica
, quando
temos
e quando
temos
; então
que é a mesma identidade. Essa troca é justificada porque a transformação
é bijetora e contínua com derivada
, e essa é a ideia por trás da regra de substituição em integrais.