Encontre o comprimento exato da curva.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento exato da curva dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
A pergunta é: qual é o comprimento da curva entre
e
, expresso de forma exata (sem aproximação decimal)?
Passo 2
Fórmula que usamos para comprimento de arco de uma curva
contínua e derivável em
:
Explicando a fórmula de forma simples: se você aproximar um pequeno trecho da curva por um segmento de reta, o comprimento desse segmento é aproximadamente
. Fazendo
e somando os pedacinhos dá a integral acima. Aqui
é a derivada de
em relação a
, que representa a taxa de variação de
por unidade de
.
Passo 3
Vamos calcular
para
. Lembre que a derivada de
em relação a
é
, e pela regra da cadeia, se
então
Aplicando ao nosso
:
Portanto
.
Passo 4
Agora montamos o integrando da fórmula do comprimento:
Usamos a identidade hiperbólica fundamental:
que rearranjada dá
Aplicando com
obtemos
. Como
para todo
, temos
Passo 5
Logo o comprimento é
Agora integramos
. Uma primitiva de
pode ser encontrada invertendo a regra da cadeia: sabemos que
, então
Avaliação nos limites
e
:
E
, portanto