Encontre o comprimento exato da curva.
y=3+\frac{1}{2} \operatorname{cosh} 2 x, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento exato da curva dada por
y=3+\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} 2x,\qquad 0\le x\le 1.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{função: } y(x)=3+\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} 2x,çã
\text{intervalo em } x: [0,1].
A pergunta é: qual é o comprimento da curva entre x=0 e x=1, expresso de forma exata (sem aproximação decimal)?

Passo 2

Fórmula que usamos para comprimento de arco de uma curva y=f(x) contínua e derivável em [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando a fórmula de forma simples: se você aproximar um pequeno trecho da curva por um segmento de reta, o comprimento desse segmento é aproximadamente \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^{2}}. Fazendo \Delta x\to0 e somando os pedacinhos dá a integral acima. Aqui f'(x) é a derivada de y em relação a x, que representa a taxa de variação de y por unidade de x.

Passo 3

Vamos calcular f'(x) para f(x)=3+\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} 2x. Lembre que a derivada de \operatorname{cosh} u em relação a u é \operatorname{sinh} u, e pela regra da cadeia, se u=2x então
\frac{d}{dx}\operatorname{cosh}(2x)=2\operatorname{sinh}(2x).
Aplicando ao nosso f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(3+\tfrac{1}{2}\operatorname{cosh} 2x\Bigr) =\tfrac{1}{2}\cdot 2\operatorname{sinh}(2x)=\operatorname{sinh}(2x).
Portanto f'(x)=\operatorname{sinh}(2x).

Passo 4

Agora montamos o integrando da fórmula do comprimento:
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(2x)}.
Usamos a identidade hiperbólica fundamental:
\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1,
que rearranjada dá
1+\operatorname{sinh}^{2}u=\operatorname{cosh}^{2}u.
Aplicando com u=2x obtemos 1+\operatorname{sinh}^{2}(2x)=\operatorname{cosh}^{2}(2x). Como \operatorname{cosh}(2x)\ge 0 para todo x, temos
\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(2x)}=\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}(2x)}=\operatorname{cosh}(2x).

Passo 5

Logo o comprimento é
L=\int_{0}^{1}\operatorname{cosh}(2x)\,dx.
Agora integramos \operatorname{cosh}(2x). Uma primitiva de \operatorname{cosh}(2x) pode ser encontrada invertendo a regra da cadeia: sabemos que \frac{d}{dx}\operatorname{sinh}(2x)=2\operatorname{cosh}(2x), então
\int \operatorname{cosh}(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(2x)+C.
Avaliação nos limites 0 e 1:
L=\Bigl[\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(2x)\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}\bigl(\operatorname{sinh}(2)-\operatorname{sinh}(0)\bigr).
E \operatorname{sinh}(0)=0, portanto
L=\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(2).

Resposta

\tfrac{1}{2}\operatorname{sinh}(2)

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