Encontre o comprimento de onda e a frequência de um fóton emitido em uma transição eletrônica entre os níveis 2 e 1.
No meio interestelar, átomos de hidrogênio altamente excitados têm sido observados. Encontre o comprimento de onda para a transição eletrônica de n=273 para n=272.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas diferentes:
  1. Encontrar o comprimento de onda e a frequência do fóton emitido na transição eletrônica de n=2 para n=1 (átomo de hidrogênio).
  2. Encontrar o comprimento de onda para a transição eletrônica de n=273 para n=272 (átomos de hidrogênio altamente excitados no meio interestelar).
Informações relevantes fornecidas/implícitas:
  • Trata‑se de transições no átomo de hidrogênio (níveis de Bohr).
  • Para usar a fórmula de Rydberg precisamos do valor da constante de Rydberg para o hidrogênio (ajustada para a massa reduzida): \displaystyle R_{H}=1,0967758\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}.
  • Constante da velocidade da luz: \displaystyle c=2,99792458\times10^{8}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • Constante de Planck (quando necessária para energia): \displaystyle h=6,62607015\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo (aulas rápidas):
  • A fórmula de Rydberg para a emissão (ou absorção) entre níveis n_i e n_f dá o inverso do comprimento de onda do fóton emitido:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\!\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right).
Aqui \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido, R_{H} é a constante de Rydberg do hidrogênio, n_{i} é o número quântico inicial (maior) e n_{f} é o número quântico final (menor). Essa fórmula vem do fato de que os níveis de energia no modelo de Bohr valem
E_{n}=-\frac{hcR_{H}}{n^{2}},
assim a diferença de energia é \Delta E = hcR_{H}\big(\tfrac{1}{n_{f}^{2}}-\tfrac{1}{n_{i}^{2}}\big) e como \Delta E=h\nu e \nu=c/\lambda obtemos a fórmula acima.
  • Para obter a frequência usa‑se
\nu=\frac{c}{\lambda}.
Aqui \nu é a frequência do fóton e c é a velocidade da luz.

Passo 3

Aplicando para a transição n=2\to n=1: primeiro calcule a diferença de termos 1/n^{2}:
\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}=\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Substituindo na fórmula de Rydberg:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\cdot\frac{3}{4}.

Passo 4

Continuando os cálculos para n=2\to1: substituo R_{H}=1,0967758\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}:
\frac{1}{\lambda}=1,0967758\times10^{7}\cdot\frac{3}{4}=1,0967758\times10^{7}\cdot0,75=8,2258185\times10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}.
Logo
\lambda=\frac{1}{8,2258185\times10^{6}}=1,21567\times10^{-7}\,\mathrm{m}.
É útil também dar em nanómetros: 1,21567\times10^{-7}\,\mathrm{m}=121,567\,\mathrm{nm}.

Passo 5

Agora a frequência da transição n=2\to1. Usamos \nu=c/\lambda com c=2,99792458\times10^{8}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} e \lambda=1,21567\times10^{-7}\,\mathrm{m}:
\nu=\frac{2,99792458\times10^{8}}{1,21567\times10^{-7}}=2,46607\times10^{15}\,\mathrm{Hz}.
Explicando: dividimos a velocidade da luz pelo comprimento de onda para obter a frequência (unidade Hz = s^{-1}).

Passo 6

Agora a transição n=273\to n=272. Primeiro escrevemos a diferença:
\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}=\frac{1}{272^{2}}-\frac{1}{273^{2}}.
Para simplificar algebraicamente podemos usar a identidade
\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}=\frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Aqui n=272, então 2n+1=545. Portanto
\frac{1}{272^{2}}-\frac{1}{273^{2}}=\frac{545}{272^{2}\cdot273^{2}}.

Passo 7

Continuando o cálculo para \lambda (usar a fórmula de Rydberg):
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\cdot\frac{545}{272^{2}\cdot273^{2}}.
Isolando \lambda:
\lambda=\frac{272^{2}\cdot273^{2}}{545\,R_{H}}=\frac{(272\cdot273)^{2}}{545\,R_{H}}.
Agora fazemos as contas aritméticas passo a passo:
  • Primeiro 272\cdot273=74\,256.
  • Em seguida (74\,256)^{2}=5\,513\,953\,536.
  • Dividindo por 545 obtemos \dfrac{5\,513\,953\,536}{545}=10\,117\,345,9376 (aprox.).
  • Finalmente dividimos por R_{H}=1,0967758\times10^{7}:
\lambda=\frac{10\,117\,345,9376}{1,0967758\times10^{7}}=0,92240\,\mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação do resultado para a transição n=273\to272: o comprimento de onda é da ordem de 0,92 metros, ou seja um rádio‑comprimento de onda (faixa de centenas de megahertz). Se quiser transformar em frequência para ter ideia: \nu=c/\lambda\approx3,25\times10^{8}\,\mathrm{Hz} (≈325 MHz). (Observação: o enunciado só pedia o comprimento de onda para esse caso, por isso a resposta final conterá apenas \lambda.)

Resposta

\lambda_{2\to1}=1,21567\times10^{-7}\,\mathrm{m}=121,567\,\mathrm{nm};\quad \nu_{2\to1}=2,46607\times10^{15}\,\mathrm{Hz}
\lambda_{273\to272}=0,92240\,\mathrm{m}

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