Encontre o comprimento de onda e a frequência de um fóton emitido em uma transição eletrônica entre os níveis 2 e 1.
No meio interestelar, átomos de hidrogênio altamente excitados têm sido observados. Encontre o comprimento de onda para a transição eletrônica de
para
.
No meio interestelar, átomos de hidrogênio altamente excitados têm sido observados. Encontre o comprimento de onda para a transição eletrônica de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas diferentes:
- Encontrar o comprimento de onda e a frequência do fóton emitido na transição eletrônica de
para (átomo de hidrogênio). - Encontrar o comprimento de onda para a transição eletrônica de
para (átomos de hidrogênio altamente excitados no meio interestelar).
Informações relevantes fornecidas/implícitas:
- Trata‑se de transições no átomo de hidrogênio (níveis de Bohr).
- Para usar a fórmula de Rydberg precisamos do valor da constante de Rydberg para o hidrogênio (ajustada para a massa reduzida):
. - Constante da velocidade da luz:
. - Constante de Planck (quando necessária para energia):
.
Passo 2
Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo (aulas rápidas):
- A fórmula de Rydberg para a emissão (ou absorção) entre níveis
e dá o inverso do comprimento de onda do fóton emitido:
Aqui
é o comprimento de onda do fóton emitido,
é a constante de Rydberg do hidrogênio,
é o número quântico inicial (maior) e
é o número quântico final (menor). Essa fórmula vem do fato de que os níveis de energia no modelo de Bohr valem
assim a diferença de energia é
e como
e
obtemos a fórmula acima.
- Para obter a frequência usa‑se
Aqui
é a frequência do fóton e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Aplicando para a transição
: primeiro calcule a diferença de termos
:
Substituindo na fórmula de Rydberg:
Passo 4
Continuando os cálculos para
: substituo
:
Logo
É útil também dar em nanómetros:
.
Passo 5
Agora a frequência da transição
. Usamos
com
e
:
Explicando: dividimos a velocidade da luz pelo comprimento de onda para obter a frequência (unidade Hz = s^{-1}).
Passo 6
Agora a transição
. Primeiro escrevemos a diferença:
Para simplificar algebraicamente podemos usar a identidade
Aqui
, então
. Portanto
Passo 7
Continuando o cálculo para
(usar a fórmula de Rydberg):
Isolando
:
Agora fazemos as contas aritméticas passo a passo:
- Primeiro
. - Em seguida
. - Dividindo por
obtemos (aprox.). - Finalmente dividimos por
:
Passo 8
Interpretação do resultado para a transição
: o comprimento de onda é da ordem de
metros, ou seja um rádio‑comprimento de onda (faixa de centenas de megahertz). Se quiser transformar em frequência para ter ideia:
(≈325 MHz). (Observação: o enunciado só pedia o comprimento de onda para esse caso, por isso a resposta final conterá apenas
.)