O período de um pêndulo é de 3 segundos no seu referencial. Qual é o período medido por um observador se movendo a uma velocidade de 0,96 c em relação ao pêndulo?

Passo 1

O enunciado fornece o período do pêndulo no referencial do próprio pêndulo e pede o período medido por um observador em movimento relativo. Dados e pergunta organizados:
  • Período próprio do pêndulo: T_0 = 3\\ \text{s}.
  • Velocidade do observador relativa ao pêndulo: v = 0,96\,c.
  • Pergunta: qual é o período T medido pelo observador que se move com velocidade v em relação ao pêndulo?

Passo 2

Conceito necessário (explicado de forma simples): quando um evento repetitivo tem um intervalo de tempo medido no referencial onde ele está em repouso (aqui, o pêndulo), esse intervalo é o tempo próprio T_0. Um observador que vê esse relógio (ou pêndulo) em movimento mede um intervalo de tempo maior — isso é chamado dilatação do tempo. A fórmula que relaciona o intervalo medido no referencial em movimento T com o tempo próprio T_0 usa o fator de Lorentz \gamma:
T = \gamma\, T_0.
Aqui \gamma é um número maior ou igual a 1 que depende da velocidade relativa v. Vou explicar \gamma no próximo passo.

Passo 3

Definição do fator de Lorentz \gamma: ele quantifica quanto o tempo se dilata devido ao movimento relativo. A fórmula é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
Explicando as variáveis:
  • v é a velocidade relativa entre observador e pêndulo.
  • c é a velocidade da luz no vácuo.
  • v^2/c^2 é a fração quadrática da velocidade em relação a c.
    Substituiremos v = 0,96\,c nessa fórmula.

Passo 4

Cálculo de 1 - v^2/c^2 com v = 0,96\,c:
1 - \frac{v^2}{c^2} = 1 - (0,96)^2 = 1 - 0,9216 = 0,0784.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{0,0784} = 0,28,
pois 0,28^2 = 0,0784. Portanto
\gamma = \frac{1}{0,28} = 3,571428571\ldots

Passo 5

Aplicando a dilatação do tempo T = \gamma\,T_0. Substituindo \gamma e T_0:
T = 3{,}571428571\ldots \times 3\\ \text{s} = 10{,}714285714\ldots\\ \text{s}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: o período medido pelo observador em movimento é maior que o período próprio ( 10{,}714\\ \text{s} vs 3\\ \text{s}), o que faz sentido porque o movimento relativo dilata o tempo. Se quiser, pode arredondar para duas casas decimais: T \approx 10{,}71\\ \text{s}. Também note que o resultado exato pode ser escrito como fração: T = 3 \times \dfrac{1}{0{,}28} = \dfrac{75}{7}\\ \text{s}.

Resposta

T = 10{,}714285714\\ \text{s} (aproximadamente 10{,}71\\ \text{s}).

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