O período de um pêndulo é de 3 segundos no seu referencial. Qual é o período medido por um observador se movendo a uma velocidade de
em relação ao pêndulo?
Passo 1
O enunciado fornece o período do pêndulo no referencial do próprio pêndulo e pede o período medido por um observador em movimento relativo. Dados e pergunta organizados:
- Período próprio do pêndulo:
. - Velocidade do observador relativa ao pêndulo:
. - Pergunta: qual é o período
medido pelo observador que se move com velocidade em relação ao pêndulo?
Passo 2
Conceito necessário (explicado de forma simples): quando um evento repetitivo tem um intervalo de tempo medido no referencial onde ele está em repouso (aqui, o pêndulo), esse intervalo é o tempo próprio
. Um observador que vê esse relógio (ou pêndulo) em movimento mede um intervalo de tempo maior — isso é chamado dilatação do tempo. A fórmula que relaciona o intervalo medido no referencial em movimento
com o tempo próprio
usa o fator de Lorentz
:
Aqui
é um número maior ou igual a 1 que depende da velocidade relativa
. Vou explicar
no próximo passo.
Passo 3
Definição do fator de Lorentz
: ele quantifica quanto o tempo se dilata devido ao movimento relativo. A fórmula é
Explicando as variáveis:
-
é a velocidade relativa entre observador e pêndulo. -
é a velocidade da luz no vácuo. -
é a fração quadrática da velocidade em relação a .
Substituiremosnessa fórmula.
Passo 4
Cálculo de
com
:
Agora a raiz quadrada:
pois
. Portanto
Passo 5
Aplicando a dilatação do tempo
. Substituindo
e
:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: o período medido pelo observador em movimento é maior que o período próprio (
vs
), o que faz sentido porque o movimento relativo dilata o tempo. Se quiser, pode arredondar para duas casas decimais:
. Também note que o resultado exato pode ser escrito como fração:
.