Encontre o comprimento de onda e a frequência de um fóton emitido em uma transição eletrônica entre os níveis 2 e 1.
E se a radiação fosse tratada classicamente? Qual seria o comprimento de onda emitido para
?
E se a radiação fosse tratada classicamente? Qual seria o comprimento de onda emitido para
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar o comprimento de onda e a frequência de um fóton emitido numa transição eletrônica entre os níveis 2 e 1.
- Depois, tratar a radiação classicamente e calcular qual seria o comprimento de onda emitido para
.
Informações/restrições que vamos usar (assumidas porque a questão não as especificou explicitamente, mas são as usuais neste tipo de problema):
- Estamos tratando o átomo de hidrogênio (níveis de energia de Bohr).
- Usarei constantes físicas conhecidas: a velocidade da luz
, a constante de Planck , a carga do elétron convertida em energia (1 eV em joules) e o raio de Bohr e a constante de estrutura fina quando necessário. Vou declarar os valores numéricos quando forem usados. - Não farei outras suposições além dessas.
Passo 2
Entendendo a fórmula de energia dos níveis de Bohr (a peça-chave para a parte quântica).
A energia do nível do átomo de hidrogênio, na modelagem de Bohr, é dada por
A energia do nível
onde:
-
é a energia do nível (em electronvolts, eV), -
é a energia de ligação do estado fundamental ( ), -
é o número quântico principal ( ).
Quando um elétron transita de um nível
para
com
, a energia do fóton emitido é
onde:
-
é a energia do fóton (em joules ou eV), -
é a constante de Planck, -
é a frequência do fóton.
O comprimento de onda
e a frequência
estão relacionados por
onde
é a velocidade da luz.
Também é útil a forma prática usando energia em eV e comprimento em nm:
porque
.
Passo 3
Aplicando ao caso quântico pedido: transição
.
Calculemos primeiro a energia dos níveis em eV:
Calculemos primeiro a energia dos níveis em eV:
A energia do fóton emitido é
O fóton tem energia positiva de
(o sinal negativo só indicava que os níveis são ligados). Então
Passo 4
Conversão para joules e cálculo da frequência usando
.
Constantes que vou usar (valores aproximados, suficientes para cálculo manual/rápido):
Constantes que vou usar (valores aproximados, suficientes para cálculo manual/rápido):
Convertemos a energia do fóton para joules:
Agora a frequência:
Passo 5
Cálculo do comprimento de onda
do fóton (duas formas, que dão o mesmo resultado).
Usando :
Usando
Usando a forma prática
:
confirmação consistente.
Passo 6
Resumo didático até aqui (como lembrar na prova):
- Para transição entre níveis
e no hidrogênio, calcule (em eV). - Energia do fóton:
(tomar valor positivo). - Frequência:
(lembre de converter eV para joules se usar em SI). - Comprimento de onda:
ou .
Passo 7
Agora a parte clássica: qual seria o comprimento de onda emitido se tratássemos a radiação classicamente para um elétron no nível
?
No modelo clássico simplificado (imaginando o elétron como partícula que descreve uma órbita circular e emite radiação em sua frequência orbital fundamental), a frequência fundamental de emissão seria a frequência de revolução do elétron na órbita. Essa frequência orbital é dada por
No modelo clássico simplificado (imaginando o elétron como partícula que descreve uma órbita circular e emite radiação em sua frequência orbital fundamental), a frequência fundamental de emissão seria a frequência de revolução do elétron na órbita. Essa frequência orbital
onde:
-
é a velocidade do elétron na órbita , -
é o raio da órbita.
No modelo de Bohr (que nos dá valores para
e
, embora não seja “clássico” quanto à quantização), temos as fórmulas:
onde:
-
é o raio de Bohr ( ), -
é a constante de estrutura fina ( ), -
é a velocidade da luz.
Substituindo em
:
Então o comprimento de onda clássico associado (supondo emissão na frequência orbital) é
Observe que
cresce como
.
Passo 8
Cálculo numérico para
.
Constantes usadas:
Constantes usadas:
Compute o fator prefatorial:
Agora
para
:
Multiplicando:
Passo 9
Interpretação rápida (útil na prova):
- A previsão quântica para a transição
dá um fóton ultravioleta com e . - O tratamento clássico (impróprio para emissão quantizada) para um elétron em órbita com
daria um comprimento de onda enorme, da ordem do metro ( ), mostrando que a descrição clássica não coincide com a quantização observada — especialmente porque a emissão real ocorre em transições discretas, não na frequência orbital simples.