Encontre o comprimento de onda e a frequência de um fóton emitido em uma transição eletrônica entre os níveis 2 e 1.
E se a radiação fosse tratada classicamente? Qual seria o comprimento de onda emitido para n=273 ?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar o comprimento de onda e a frequência de um fóton emitido numa transição eletrônica entre os níveis 2 e 1.
  • Depois, tratar a radiação classicamente e calcular qual seria o comprimento de onda emitido para n=273.
Informações/restrições que vamos usar (assumidas porque a questão não as especificou explicitamente, mas são as usuais neste tipo de problema):
  • Estamos tratando o átomo de hidrogênio (níveis de energia de Bohr).
  • Usarei constantes físicas conhecidas: a velocidade da luz c, a constante de Planck h, a carga do elétron convertida em energia (1 eV em joules) e o raio de Bohr a_0 e a constante de estrutura fina \alpha quando necessário. Vou declarar os valores numéricos quando forem usados.
  • Não farei outras suposições além dessas.

Passo 2

Entendendo a fórmula de energia dos níveis de Bohr (a peça-chave para a parte quântica).
A energia do nível n do átomo de hidrogênio, na modelagem de Bohr, é dada por
E_n = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2},
onde:
  • E_n é a energia do nível n (em electronvolts, eV),
  • 13{,}6\\ \text{eV} é a energia de ligação do estado fundamental ( n=1),
  • n é o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots).
Quando um elétron transita de um nível n_i para n_f com n_i>n_f, a energia do fóton emitido é
\Delta E = E_{n_f} - E_{n_i} = h\nu,
onde:
  • \Delta E é a energia do fóton (em joules ou eV),
  • h é a constante de Planck,
  • \nu é a frequência do fóton.
O comprimento de onda \lambda e a frequência \nu estão relacionados por
\lambda = \frac{c}{\nu},
onde c é a velocidade da luz.
Também é útil a forma prática usando energia em eV e comprimento em nm:
\lambda\\ (\text{nm}) = \frac{1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{E\\ (\text{eV})},
porque hc \approx 1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}.

Passo 3

Aplicando ao caso quântico pedido: transição n=2 \to n=1.
Calculemos primeiro a energia dos níveis em eV:
E_1 = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{1^2} = -13{,}6\\ \text{eV}, \qquad E_2 = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{2^2} = -\frac{13{,}6}{4}\\ \text{eV} = -3{,}4\\ \text{eV}.
A energia do fóton emitido é
\Delta E = E_1 - E_2 = (-13{,}6) - (-3{,}4) = -10{,}2\\ \text{eV}.
O fóton tem energia positiva de 10{,}2\\ \text{eV} (o sinal negativo só indicava que os níveis são ligados). Então
E_{\text{fóton}} = 10{,}2\\ \text{eV}.ó

Passo 4

Conversão para joules e cálculo da frequência usando \nu = E/h.
Constantes que vou usar (valores aproximados, suficientes para cálculo manual/rápido):
1\\ \text{eV} = 1{,}602\times 10^{-19}\\ \text{J}, \qquad h = 6{,}626\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}, \qquad c = 2{,}998\times 10^{8}\\ \text{m/s}.
Convertemos a energia do fóton para joules:
E_{\text{fóton}} = 10{,}2\\ \text{eV} \times 1{,}602\times 10^{-19}\\ \frac{\text{J}}{\text{eV}} = 1{,}634\times 10^{-18}\\ \text{J}.ó
Agora a frequência:
\nu = \frac{E}{h} = \frac{1{,}634\times 10^{-18}\\ \text{J}}{6{,}626\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}} \approx 2{,}47\times 10^{15}\\ \text{Hz}.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda \lambda do fóton (duas formas, que dão o mesmo resultado).
Usando \lambda = c/\nu:
\lambda = \frac{2{,}998\times 10^{8}\\ \text{m/s}}{2{,}47\times 10^{15}\\ \text{Hz}} \approx 1{,}216\times 10^{-7}\\ \text{m} = 121{,}6\\ \text{nm}.
Usando a forma prática \lambda(\text{nm}) = 1240/E(\text{eV}):
\lambda = \frac{1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{10{,}2\\ \text{eV}} \approx 121{,}6\\ \text{nm},
confirmação consistente.

Passo 6

Resumo didático até aqui (como lembrar na prova):
  • Para transição entre níveis n_i e n_f no hidrogênio, calcule E_{n}=-13{,}6/n^2 (em eV).
  • Energia do fóton: E_{\text{fóton}}=E_{n_f}-E_{n_i}ó (tomar valor positivo).
  • Frequência: \nu=E_{\text{fóton}}/hó (lembre de converter eV para joules se usar h em SI).
  • Comprimento de onda: \lambda=c/\nu ou \lambda(\text{nm})=1240/E(\text{eV}).

Passo 7

Agora a parte clássica: qual seria o comprimento de onda emitido se tratássemos a radiação classicamente para um elétron no nível n?
No modelo clássico simplificado (imaginando o elétron como partícula que descreve uma órbita circular e emite radiação em sua frequência orbital fundamental), a frequência fundamental de emissão seria a frequência de revolução do elétron na órbita. Essa frequência orbital f_{\text{orb}} é dada por
f_{\text{orb}}=\frac{v_n}{2\pi r_n},
onde:
  • v_n é a velocidade do elétron na órbita n,
  • r_n é o raio da órbita.
No modelo de Bohr (que nos dá valores para v_n e r_n, embora não seja “clássico” quanto à quantização), temos as fórmulas:
r_n = n^2 a_0, \qquad v_n = \frac{\alpha c}{n},
onde:
  • a_0 é o raio de Bohr ( a_0 \approx 5{,}292\times 10^{-11}\\ \text{m}),
  • \alpha é a constante de estrutura fina ( \alpha \approx 7{,}297\times 10^{-3}),
  • c é a velocidade da luz.
Substituindo em f_{\text{orb}}:
f_{\text{orb}} = \frac{\alpha c / n}{2\pi n^2 a_0} = \frac{\alpha c}{2\pi a_0 n^3}.
Então o comprimento de onda clássico associado (supondo emissão na frequência orbital) é
\lambda_{\text{clássica}} = \frac{c}{f_{\text{orb}}} = \frac{2\pi a_0 n^3}{\alpha}.á
Observe que \lambda_{\text{clássica}}á cresce como n^3.

Passo 8

Cálculo numérico para n=273.
Constantes usadas:
a_0 = 5{,}292\times 10^{-11}\\ \text{m}, \qquad \alpha = 7{,}297\times 10^{-3}.
Compute o fator prefatorial:
\frac{2\pi a_0}{\alpha} = \frac{2\pi \times 5{,}292\times 10^{-11}}{7{,}297\times 10^{-3}} \approx 4{,}557\times 10^{-8}\\ \text{m}.
Agora n^3 para n=273:
n^3 = 273^3 = 20\,346\,417.
Multiplicando:
\lambda_{\text{clássica}} = 4{,}557\times 10^{-8}\\ \text{m}\times 20\,346\,417 \approx 0{,}927\\ \text{m}.á

Passo 9

Interpretação rápida (útil na prova):
  • A previsão quântica para a transição 2\to1 dá um fóton ultravioleta com \lambda\approx 121{,}6\\ \text{nm} e \nu\approx 2{,}47\times 10^{15}\\ \text{Hz}.
  • O tratamento clássico (impróprio para emissão quantizada) para um elétron em órbita com n=273 daria um comprimento de onda enorme, da ordem do metro ( \approx 0{,}93\\ \text{m}), mostrando que a descrição clássica não coincide com a quantização observada — especialmente porque a emissão real ocorre em transições discretas, não na frequência orbital simples.

Resposta

\lambda_{\text{quântico}}=121{,}6\\ \text{nm}â
\nu_{\text{quântico}}=2{,}47\times 10^{15}\\ \text{Hz}â
\lambda_{\text{clássica}}\\ (n=273)=0{,}927\\ \text{m}á

Exercícios relacionados