Encontre o compriments da curva x^23+y^23=1 para 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo onde e . Vamos resolver isso usando cálculo, mais especificamente a fórmula do comprimento de arco. Para isso, vamos precisar manipular a equação da curva e aplicar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar y^23 = 1 - x^23 em função de y = (1 - x^23)^32 . A equação da curva é . Então, isolando :
Agora, elevando ambos os lados ao poder de para resolver para :

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dydx = 32 (1 - x^23)^12 cdot (-23 x^-13) em relação a dydx = -(1 - x^23)^12 cdot x^-13 , ou seja, . Usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

A fórmula para o comprimento de arco de uma curva L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2 , dx de L = integral0^1 raiz1 + (-(1 - x^23)^12 cdot x^-13)^2 , dx a é:
Substituindo :

Passo 5

Simplificando o que está dentro da raiz:
1 + (1 - x^23) x^-23 = 1 + 1 - x^23x^23 = x^23 + 1 - x^23x^23 = 1x^23
Então, a integral fica:
L = integral0^1 raiz1x^23 , dx = integral0^1 x^-13 , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral x^-13 , dx
A antiderivada de x^2323 = 32 x^23 é quando . Aqui, , então:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
L = 32 x^23 |0^1 = 32 (1^23) - 32 (0^23) = 32 (1) - 32 (0) = 32

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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