• Na redução ao 1^{\circ} quadrante de \boldsymbol{\operatorname { s e n }} \mathbf{2 1 0}^{\circ}, temos:
    a) \operatorname{sen} 30^{\circ}
    b) -\cos 30^{\circ}
    c) \cos 60^{\circ}
    d) -\operatorname{sen} 30^{\circ}
    e) -\cos 60

Passo 1

O enunciado pede reduzir ao 1^{\circ} quadrante a expressão \operatorname{sen} 210^{\circ} e escolher entre as alternativas:
a) \operatorname{sen} 30^{\circ}
b) -\cos 30^{\circ}
c) \cos 60^{\circ}
d) -\operatorname{sen} 30^{\circ}
e) -\cos 60
Informações dadas: o ângulo é 210^{\circ}. A tarefa é encontrar a expressão equivalente no 1º quadrante (ou seja, em termos de um ângulo agudo) com o sinal correto.

Passo 2

Determinar em qual quadrante está 210^{\circ} e achar o ângulo de referência (ângulo no 1º quadrante). Observamos que
180^{\circ}<210^{\circ}<270^{\circ},
portanto 210^{\circ} está no 3^{\circ} quadrante. O ângulo de referência \alpha (o ângulo agudo correspondente) é a diferença para 180^{\circ}:
\alpha = 210^{\circ}-180^{\circ}=30^{\circ}.
Ou seja, o ângulo de referência é 30^{\circ}.

Passo 3

Entender o sinal da função seno no 3^{\circ} quadrante. Regra prática (explicando de forma geométrica): no círculo trigonométrico, o seno corresponde à ordenada y. No 3^{\circ} quadrante a ordenada é negativa, então o seno é negativo. Logo, para um ângulo escrito como 180^{\circ}+\alpha (que é o caso de 210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}), devemos ter um sinal negativo. Podemos também derivar isso pela fórmula de adição:
\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}A\cos B+\cos A\operatorname{sen}B.
Tomando A=180^{\circ} e B=\alpha, como \operatorname{sen}180^{\circ}=0 e \cos180^{\circ}=-1, obtemos
\operatorname{sen}(180^{\circ}+\alpha)=0\cdot\cos\alpha+(-1)\cdot\operatorname{sen}\alpha=-\operatorname{sen}\alpha.
Isso confirma que, para um ângulo no 3^{\circ} quadrante, o seno é -\operatorname{sen} do ângulo de referência.

Passo 4

Aplicar o resultado ao caso concreto. Como 210^{\circ}=180^{\circ}+30^{\circ}, pela identidade acima:
\operatorname{sen}210^{\circ}=-\operatorname{sen}30^{\circ}.
Se quisermos o valor numérico (apenas para confirmar), lembramos que \operatorname{sen}30^{\circ}=\tfrac{1}{2}, logo \operatorname{sen}210^{\circ}=-\tfrac{1}{2}. Mas a pergunta pede a forma reduzida ao 1º quadrante, não necessariamente o valor numérico.

Passo 5

Comparar com as alternativas: a) é \operatorname{sen}30^{\circ} (sinal errado); b) é -\cos30^{\circ} (não equivale, pois \cos30^{\circ}\neq\operatorname{sen}30^{\circ}); c) \cos60^{\circ}=\tfrac{1}{2} (positivo, não corresponde ao sinal negativo esperado); d) -\operatorname{sen}30^{\circ} coincide com o que obtivemos; e) -\cos60 (a notação está incompleta e, além disso, \cos60^{\circ}=\tfrac{1}{2}, então seria -\tfrac{1}{2} que numericamente bate com -\operatorname{sen}30^{\circ}, mas a forma correta de redução é -\operatorname{sen}30^{\circ}, que é a alternativa d). Portanto a alternativa correta é a d).

Resposta

(d) -\operatorname{sen} 30^{\circ}

Exercícios relacionados