Encontre a concentração de todas as espécies e o pH para uma solução de ácido acético, \mathrm{HAc}, 5,3 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. Verifique se as aproximações são adequadas: se erro maior que 3 \%, refazer os cálculos e considerar somente aproximações válidas.

Passo 1

O enunciado dá a concentração inicial de ácido acético e pede as concentrações das espécies presentes em equilíbrio e o pH da solução. Informações que vamos usar (peguei o valor de K_a da tabela habitual a 25^\circ\text{C}):
  • Concentração inicial do ácido acético: C=\;5,3\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • Constante de dissociação do ácido acético (assumida a 25^\circ\text{C}): K_a=1,8\times10^{-5}.
  • Pedidos: encontrar [\mathrm{HAc}], [\mathrm{Ac^-}], [\mathrm{H_3O^+}] (ou [\mathrm{H^+}]), eventualmente [\mathrm{OH^-}], e o \mathrm{pH}.
  • Verificar se a aproximação x\ll C (ou equivalentemente usar \;x\approx\sqrt{K_a C}\;) é adequada; se o erro da aproximação for maior que 3\%, refazer usando a solução exata da equação quadrática.

Passo 2

Escrevendo a reação de equilíbrio e definindo incógnitas:
A dissociação do ácido acético:
\mathrm{HAc} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{Ac^-}.
Vamos chamar x a concentração de \mathrm{H^+} formada em equilíbrio (assumindo que a contribuição da água pura é desprezível diante desta acidez). Então, partindo de concentração inicial de \mathrm{HAc}=C e assumindo que não há \mathrm{H^+} nem \mathrm{Ac^-} inicialmente, as concentrações em equilíbrio serão:
[\mathrm{H^+}]=x,\qquad [\mathrm{Ac^-}]=x,\qquad [\mathrm{HAc}]=C-x.
A constante de acidez é definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{Ac^-}]}{[\mathrm{HAc}]}=\frac{x^2}{C-x}.

Passo 3

Deduzindo a equação que x satisfaz (equação exata):
A partir de \;K_a=\dfrac{x^2}{C-x}\; obtemos
x^2 = K_a(C-x).
Reorganizando:
x^2 + K_a x - K_a C = 0.
Esta é uma equação quadrática em x. A solução positiva (física) é
x=\frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4K_a C}}{2}.
Essa expressão dá o valor exato de [\mathrm{H^+}] sem aproximações.

Passo 4

Método aproximado (muito usado em prova): se x\ll C então C-x\approx C e
K_a\approx\frac{x^2}{C}\quad\Rightarrow\quad x\approx\sqrt{K_a C}.
Vou calcular essa aproximação primeiro (é o procedimento comum em prova porque é rápido) e depois comparar com a solução exata para verificar o erro.
Calculemos \;x_{\text{approx}}=\sqrt{K_a C}:
x_{\text{approx}}=\sqrt{\left(1,8\times10^{-5}\right)\left(5,3\times10^{-3}\right)} =\sqrt{9,54\times10^{-8}}.
Extraindo a raiz:
x_{\text{approx}}\approx 3,089\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
A partir disso, o pH aproximado é
\mathrm{pH}_{\text{approx}}=-\log_{10}\!\bigl(x_{\text{approx}}\bigr) \approx -\log_{10}\!\bigl(3,089\times10^{-4}\bigr)\approx 3,51\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Cálculo exato usando a fórmula quadrática e comparação de erros:
Calculemos x pela solução exata
x=\frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4K_a C}}{2}.
Substituindo os números:
K_a^2=(1,8\times10^{-5})^2=3,24\times10^{-10},
4K_a C=4\cdot(1,8\times10^{-5})\cdot(5,3\times10^{-3})=3,816\times10^{-7},
K_a^2+4K_a C\approx 3,81924\times10^{-7},
\sqrt{K_a^2+4K_a C}\approx 6,181\times10^{-4}.
Logo
x_{\text{exato}}=\frac{-1,8\times10^{-5}+6,181\times10^{-4}}{2} \approx 3,0005\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
O pH exato é
\mathrm{pH}=-\log_{10}\!\bigl(x_{\text{exato}}\bigr) \approx -\log_{10}\!\bigl(3,0005\times10^{-4}\bigr)\approx 3,523.
Agora verificamos o erro relativo da aproximação em relação ao valor exato:
\%\\ \text{erro}=\frac{x_{\text{approx}}-x_{\text{exato}}}{x_{\text{exato}}}\times100\% \approx\frac{3,089\times10^{-4}-3,0005\times10^{-4}}{3,0005\times10^{-4}}\times100\% \approx 2,95\%.
Como esse erro é menor que 3\%, a aproximação é considerada válida segundo o critério dado. (Observação: a regra prática x/C<0,05 daria x/C\approx0,0566 e sugeriria prudência, por isso é importante fazer a comparação numérica exata do erro como fizemos.)

Passo 6

Determinar todas as concentrações no equilíbrio (usando o valor exato de x):
  • [\mathrm{H^+}]=x_{\text{exato}}\approx 3,0005\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • [\mathrm{Ac^-}]=x_{\text{exato}}\approx 3,0005\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • [\mathrm{HAc}]=C-x_{\text{exato}}=5,3\times10^{-3}-3,0005\times10^{-4}\approx 4,99995\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Para completar, podemos também calcular [\mathrm{OH^-}] por \;[\mathrm{OH^-}]=K_w/[\mathrm{H^+}] com K_w=1,0\times10^{-14} (a 25^\circC):
[\mathrm{OH^-}]\approx\frac{1,0\times10^{-14}}{3,0005\times10^{-4}}\approx 3,333\times10^{-11}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Resposta

[\mathrm{HAc}]=5,00\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{Ac^-}]=3,00\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{H_3O^+}]=3,00\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[\mathrm{OH^-}]=3,33\times10^{-11}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
\mathrm{pH}=3,523

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