. Uma partícula de massa m se move sob a ação de uma força central cujo potencial é V(r)=k r^{4}, k>0.
a) Para que energia E e momento angular l a orbita será circular de raio R em torno da origem ?
b) Qual o período desse movimento circular ?

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m sujeita a um potencial central
V(r)=k r^{4},\qquad k>0,
e pede duas coisas:
  1. Para que energia E e momento angular l a órbita é circular de raio R em torno da origem?
  2. Qual o período desse movimento circular?
Informações relevantes fornecidas:
\;m (massa), \;k>0 (constante do potencial), \;V(r)=k r^{4} (potencial central), \;R (raio da órbita circular procurada).
O que devemos encontrar: relações que conectem E, l e R para que a órbita seja circular, e o período T dessa órbita.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Em coordenadas polares para movimento central, a energia cinética total é
T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}\big),
onde \dot{r} é a velocidade radial e \dot{\theta} a velocidade angular. Aqui r é a distância ao centro e \theta é o ângulo polar.
  • O momento angular (constante para forças centrais) é definido por
l = m r^{2}\dot{\theta}.
Isto significa que \dot{\theta}=\dfrac{l}{m r^{2}} quando l é conhecido.
  • Podemos definir o potencial efetivo (que trata o movimento radial como se fosse unidimensional) como
V_{\text{eff}}(r)=V(r)+\frac{l^{2}}{2 m r^{2}}.
A segunda parcela é a energia centrífuga; ela aparece porque a componente angular da velocidade age como um termo efetivo dependente de r.
  • Para uma órbita circular de raio fixo R precisamos que a coordenada radial seja estacionária: isto se traduz em
\left.\frac{dV_{\text{eff}}}{dr}\right|_{r=R}=0.
Além disso, a energia total E da partícula em órbita circular é simplesmente
E=V_{\text{eff}}(R).
Vou usar exatamente essas definições e explicar cada substituição.

Passo 3

Calculemos a derivada de V_{\text{eff}}(r). Primeiro escrevemos
V_{\text{eff}}(r)=k r^{4}+\frac{l^{2}}{2 m r^{2}}.
Derivando em relação a r:
\frac{dV_{\text{eff}}}{dr}=4k r^{3} - \frac{l^{2}}{m r^{3}}.
A derivada da primeira parcela k r^{4} é 4k r^{3}. A derivada da segunda parcela \dfrac{l^{2}}{2 m r^{2}} é -\dfrac{l^{2}}{m r^{3}} (aplique a regra do poder: (r^{-2})'=-2 r^{-3} e o fator \tfrac{1}{2} cancela o -2).
A condição de órbita circular em r=R é
4k R^{3} - \frac{l^{2}}{m R^{3}}=0.

Passo 4

Resolvendo a equação do passo anterior para l^{2}:
4k R^{3} = \frac{l^{2}}{m R^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por m R^{3} obtemos
l^{2}=4 k m R^{6}.
Portanto, em termos de R e constantes:
l=\pm 2 R^{3}\sqrt{k m}.
Como estamos tratando o módulo do momento angular, tomamos a raiz positiva para o valor de l em magnitude:
l=2 R^{3}\sqrt{k m}.

Passo 5

Agora achamos a energia total E para a órbita circular. Pela definição,
E=V_{\text{eff}}(R)=k R^{4}+\frac{l^{2}}{2 m R^{2}}.
Substituímos l^{2}=4 k m R^{6} (do Passo 4) na segunda parcela:
\frac{l^{2}}{2 m R^{2}}=\frac{4 k m R^{6}}{2 m R^{2}}=2 k R^{4}.
Somando com a primeira parcela:
E=k R^{4}+2 k R^{4}=3 k R^{4}.
Logo a energia da órbita circular de raio R é \;E=3k R^{4}.

Passo 6

Agora o período T do movimento circular. Em órbita circular r=R constante, a velocidade angular é
\dot{\theta}=\frac{l}{m R^{2}}.
O período é o tempo para variar \theta em 2\pi:
T=\frac{2\pi}{\dot{\theta}}=\frac{2\pi m R^{2}}{l}.
Substituímos l=2 R^{3}\sqrt{k m} (do Passo 4):
T=\frac{2\pi m R^{2}}{2 R^{3}\sqrt{k m}}=\frac{\pi m}{R\sqrt{k m}}.
Simplificando m/\sqrt{m}=\sqrt{m} e deixando k dentro da raiz:
T=\pi\,\frac{\sqrt{m}}{R\sqrt{k}}.
Pequena verificação dimensional rápida: [k] deve ter dimensão tal que k r^{4} seja energia, logo a expressão para T tem dimensão de tempo — consistente.

Passo 7

Resumo opcional e formas alternativas (úteis na prova):
  • A condição de órbita circular em R
l^{2}=4 k m R^{6},\qquad E=3 k R^{4}.
  • Em vez de expressar E e l em função de R, podemos expressar E em função de l. Como R^{6}= \dfrac{l^{2}}{4 k m}, temos
R^{4}=\big(R^{6}\big)^{2/3}=\left(\frac{l^{2}}{4 k m}\right)^{2/3},
portanto
E=3k R^{4}=3k\left(\frac{l^{2}}{4 k m}\right)^{2/3} = \frac{3\,k^{1/3} l^{4/3}}{4^{2/3} m^{2/3}}.
  • Também poderíamos escrever T em função de E usando R=(E/(3k))^{1/4} e obter
T=\pi 3^{1/4}\frac{\sqrt{m}}{k^{1/4} E^{1/4}}.
Mas as formas principais pedidas no enunciado são as do Passo 4–6.

Resposta

(a) \;l^{2}=4k m R^{6},\quad l=2R^{3}\sqrt{k m},\quad E=3k R^{4}.
(b) \;T=\pi\,\dfrac{\sqrt{m}}{R\sqrt{k}}.

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