a) Encontre as condições que devem satisfazer os valores para k \in \mathbb{R} para os quais o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+k y=1 \\\ k x+y=1 \end{array}\right.
i) apresente uma única solução, ii) não apresente soluções e iii) apresente infinitas soluções.
b) Para o caso de apresentar apenas uma solução (i), encontre tal solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+k y=1,\\[4pt] k x+y=1, \end{array}\right.
com k\in\mathbb{R}, e pede:
(i) para quais valores de k o sistema apresenta uma única solução;
(ii) para quais valores de k o sistema não apresenta solução;
(iii) para quais valores de k o sistema apresenta infinitas soluções;
b) no caso (i), encontrar explicitamente essa solução.
Informações relevantes fornecidas:
\,x e \,y são as incógnitas; k é um parâmetro real que aparece nos coeficientes. As equações são duas equações lineares com duas incógnitas.]

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): para um sistema linear 2\times2
\left\{\begin{array}{l} a_{11}x+a_{12}y=b_1,\\[4pt] a_{21}x+a_{22}y=b_2, \end{array}\right.
o determinante da matriz dos coeficientes
D=\det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
é a chave para decidir se existe solução única. Se D\neq 0 então o sistema tem solução única (podemos usar a regra de Cramer). Se D=0 temos duas possibilidades: ou o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções) ou é incompatível (nenhuma solução). A verificação nesses casos passa por comparar as equações entre si (ou analisar as determinantes substituídas).]

Passo 3

Aplique esse conceito ao sistema dado: a matriz dos coeficientes é
\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt] k & 1\end{pmatrix},
portanto o determinante é
D=\det\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt] k & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - k\cdot k = 1-k^{2}.
Observação: \,1-k^{2}=(1-k)(1+k). Esse D nos dirá quando há solução única ( D\neq0) ou quando devemos checar consistência ( D=0).]

Passo 4

Caso D\neq 0. Isso equivale a
1-k^{2}\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad k\neq 1 \text{ e } k\neq -1.
Então para todo k diferente de 1 e de -1 o sistema tem solução única. Agora vamos calcular essa solução usando a regra de Cramer (explico o método em seguida).

Passo 5

Explicando a regra de Cramer (mini-aula): para o sistema
\left\{\begin{array}{l} a_{11}x+a_{12}y=b_1,\\[4pt] a_{21}x+a_{22}y=b_2, \end{array}\right.
com D=\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\neq0, temos
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},
onde D_x é o determinante da matriz que se obtém substituindo a primeira coluna por \begin{pmatrix}b_1\\[4pt] b_2\end{pmatrix} e D_y é o determinante obtido substituindo a segunda coluna por \begin{pmatrix}b_1\\[4pt] b_2\end{pmatrix}. É uma fórmula direta que dá a solução única.]

Passo 6

Aplicando Cramer ao nosso sistema (no caso k\neq\pm1):
Calcule D_x: substituir a primeira coluna por os termos constantes \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}
D_x=\det\begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - k\cdot 1 = 1-k.
Calcule D_y: substituir a segunda coluna por \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}
D_y=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]k & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1 - 1\cdot k = 1-k.
Lembre que D=1-k^{2}.]

Passo 7

Agora calculamos x e y explicitamente:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{1-k}{1-k^{2}},\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{1-k}{1-k^{2}}.
Simplificando a fração (observe que 1-k^{2}=(1-k)(1+k) e que aqui k\neq 1 quando usamos essa simplificação),
\frac{1-k}{1-k^{2}}=\frac{1-k}{(1-k)(1+k)}=\frac{1}{1+k}.
Portanto, para k\neq\pm1 obtém-se
x=y=\frac{1}{1+k}.

Passo 8

Agora tratamos o caso D=0, ou seja 1-k^{2}=0. Isso ocorre quando k=1 ou k=-1. Nesses casos a matriz de coeficientes é singular e precisamos verificar consistência das equações.
  • Se k=1 o sistema fica
\left\{\begin{array}{l} x+y=1,\\[4pt] x+y=1. \end{array}\right.
As duas equações são idênticas; qualquer par (x,y) que satisfaça x+y=1 é solução. Logo há infinitas soluções (um grau de liberdade).
  • Se k=-1 o sistema fica
\left\{\begin{array}{l} x - y = 1,\\[4pt] - x + y = 1. \end{array}\right.
Note que a segunda equação é -x+y=1. Se multiplicarmos a primeira por -1 obtemos -x+y=-1, que difere da segunda (que diz -x+y=1). Assim as duas equações são contraditórias; não existe (x,y) que satisfaça ambas. Logo o sistema é incompatível (nenhuma solução).]

Passo 9

Resumo lógico (rápido) antes da resposta final:
  • Determinante D=1-k^{2}.
  • Se k\neq\pm1 então D\neq0 e há solução única dada por x=y=\dfrac{1}{1+k}.
  • Se k=1 então D=0 e as equações coincidem, dando infinitas soluções (todas as (x,y) com x+y=1).
  • Se k=-1 então D=0 e as equações são inconsistentes, logo não há solução.

Resposta

(i) k\neq \pm 1
(ii) k=-1
(iii) k=1
b) Para k\neq \pm 1: (x,y)=\left(\dfrac{1}{1+k},\dfrac{1}{1+k}\right)

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