a) Encontre as condições que devem satisfazer os valores para
para os quais o sistema
i) apresente uma única solução, ii) não apresente soluções e iii) apresente infinitas soluções.
b) Para o caso de apresentar apenas uma solução (i), encontre tal solução.
b) Para o caso de apresentar apenas uma solução (i), encontre tal solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
com
, e pede:
(i) para quais valores de o sistema apresenta uma única solução;
(ii) para quais valores de o sistema não apresenta solução;
(iii) para quais valores de o sistema apresenta infinitas soluções;
b) no caso (i), encontrar explicitamente essa solução.
(i) para quais valores de
(ii) para quais valores de
(iii) para quais valores de
b) no caso (i), encontrar explicitamente essa solução.
Informações relevantes fornecidas:
e
são as incógnitas;
é um parâmetro real que aparece nos coeficientes. As equações são duas equações lineares com duas incógnitas.]
Passo 2
Conceito útil (aula rápida): para um sistema linear
o determinante da matriz dos coeficientes
é a chave para decidir se existe solução única. Se
então o sistema tem solução única (podemos usar a regra de Cramer). Se
temos duas possibilidades: ou o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções) ou é incompatível (nenhuma solução). A verificação nesses casos passa por comparar as equações entre si (ou analisar as determinantes substituídas).]
Passo 3
Aplique esse conceito ao sistema dado: a matriz dos coeficientes é
portanto o determinante é
Observação:
. Esse
nos dirá quando há solução única (
) ou quando devemos checar consistência (
).]
Passo 4
Caso
. Isso equivale a
Então para todo
diferente de
e de
o sistema tem solução única. Agora vamos calcular essa solução usando a regra de Cramer (explico o método em seguida).
Passo 5
Explicando a regra de Cramer (mini-aula): para o sistema
com
, temos
onde
é o determinante da matriz que se obtém substituindo a primeira coluna por
e
é o determinante obtido substituindo a segunda coluna por
. É uma fórmula direta que dá a solução única.]
Passo 6
Aplicando Cramer ao nosso sistema (no caso
):
Calcule
: substituir a primeira coluna por os termos constantes
Calcule
: substituir a segunda coluna por
Lembre que
.]
Passo 7
Agora calculamos
e
explicitamente:
Simplificando a fração (observe que
e que aqui
quando usamos essa simplificação),
Portanto, para
obtém-se
Passo 8
Agora tratamos o caso
, ou seja
. Isso ocorre quando
ou
. Nesses casos a matriz de coeficientes é singular e precisamos verificar consistência das equações.
- Se
o sistema fica
As duas equações são idênticas; qualquer par
que satisfaça
é solução. Logo há infinitas soluções (um grau de liberdade).
- Se
o sistema fica
Note que a segunda equação é
. Se multiplicarmos a primeira por
obtemos
, que difere da segunda (que diz
). Assim as duas equações são contraditórias; não existe
que satisfaça ambas. Logo o sistema é incompatível (nenhuma solução).]
Passo 9
Resumo lógico (rápido) antes da resposta final:
- Determinante
. - Se
então e há solução única dada por . - Se
então e as equações coincidem, dando infinitas soluções (todas as com ). - Se
então e as equações são inconsistentes, logo não há solução.
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
b) Para :
(ii)
(iii)
b) Para