Seja T um operador linear em \mathbb{R}^{2} cuja representação matricial na base canônica seja \left[\begin{array}{cc}41 & 7 \\\\ -20 & 74\end{array}\right].
a) Escreva o operador T(x, y).
b) Mostre que T pode ser representado por uma matriz diagonal na base \{(1,4),(7,5)\}.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T em \mathbb{R}^{2} cuja matriz na base canônica é
A=\begin{pmatrix}41 & 7 \\[4pt] -20 & 74\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  1. a) Escrever T(x,y).
  2. b) Mostrar que T pode ser representado por uma matriz diagonal na base \{(1,4),(7,5)\}.
    Dados relevantes: a matriz A acima e a base candidata \{v_{1}=(1,4),\,v_{2}=(7,5)\}.]

Passo 2

Vamos escrever T(x,y) multiplicando a matriz pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}. A multiplicação de matriz por vetor dá, componente a componente, a soma dos produtos das entradas da linha da matriz pelas componentes do vetor. Assim,
T(x,y)=\begin{pmatrix}41 & 7 \\[4pt] -20 & 74\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
Calculando cada componente:
\text{primeira componente }=41x+7y,
\text{segunda componente }=-20x+74y.
Portanto,
T(x,y)=\bigl(41x+7y,\;-20x+74y\bigr).]

Passo 3

Para mostrar que T é representável por uma matriz diagonal na base dada, o caminho prático é verificar se os vetores da base são autovetores (e então encontrar os autovalores). Começamos com v_{1}=(1,4). Aplicando T em v_{1} usando a matriz A:
T(v_{1})=A\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}41\cdot1+7\cdot4\\[4pt]-20\cdot1+74\cdot4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}41+28\\[4pt]-20+296\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}69\\[4pt]276\end{pmatrix}.]

Passo 4

Observamos que \begin{pmatrix}69\\[2pt]276\end{pmatrix}=69\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\end{pmatrix}. Ou seja,
T(v_{1})=69\,v_{1}.
Isso mostra que v_{1} é um autovetor de T com autovalor \lambda_{1}=69.]

Passo 5

Agora com v_{2}=(7,5). Aplicando T:
T(v_{2})=A\begin{pmatrix}7\\[2pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}41\cdot7+7\cdot5\\[4pt]-20\cdot7+74\cdot5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}287+35\\[4pt]-140+370\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}322\\[4pt]230\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificamos se esse resultado é múltiplo de v_{2}. Note que \begin{pmatrix}322\\[2pt]230\end{pmatrix}=46\begin{pmatrix}7\\[2pt]5\end{pmatrix} porque 7\cdot46=322 e 5\cdot46=230. Assim,
T(v_{2})=46\,v_{2},
logo v_{2} é autovetor com autovalor \lambda_{2}=46.]

Passo 7

Para que a base \{v_{1},v_{2}\} seja realmente uma base de \mathbb{R}^{2} precisamos que v_{1} e v_{2} sejam linearmente independentes. Uma forma simples é formar a matriz P cujas colunas são v_{1} e v_{2}:
P=\begin{pmatrix}1 & 7 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix}.
O determinante de P é
\det(P)=1\cdot5-7\cdot4=5-28=-23\neq0,
portanto v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{2}.]

Passo 8

Sejam A a matriz de T na base canônica e D a matriz de T na base \{v_{1},v_{2}\}. Montando P como acima, a relação de mudança de base é
AP=\bigl[A v_{1}\;|\;A v_{2}\bigr].
Como mostramos A v_{1}=69 v_{1} e A v_{2}=46 v_{2}, temos
AP=P\begin{pmatrix}69 & 0 \\[4pt] 0 & 46\end{pmatrix}.
Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos a fórmula de similaridade
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}69 & 0 \\[4pt] 0 & 46\end{pmatrix}.
Isso demonstra que, na base \{(1,4),(7,5)\}, a representação matricial de T é diagonal com as entradas diagonais iguais aos autovalores encontrados.]

Resposta

a) T(x,y)=\bigl(41x+7y,\;-20x+74y\bigr).
b) Na base \{(1,4),(7,5)\} a matriz de T é
\begin{pmatrix}69 & 0 \\[4pt] 0 & 46\end{pmatrix}.]

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