Seja T um operador linear em \mathbb{R}^{2} cuja representação matricial na base canônica seja \left[\begin{array}{cc}41 & 7 \\\\ -20 & 74\end{array}\right].
a) Escreva o operador T(x, y).
b) Mostre que T pode ser representado por uma matriz diagonal na base \{(1,4),(7,5)\}.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T em \mathbb{R}^{2} cuja matriz na base canônica é
b) Mostrar que T pode ser representado por uma matriz diagonal na base \{(1,4),(7,5)\}.
Dados relevantes: a matriz A acima e a base candidata \{v_{1}=(1,4),\,v_{2}=(7,5)\}.]
Passo 2
Vamos escrever T(x,y) multiplicando a matriz pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}. A multiplicação de matriz por vetor dá, componente a componente, a soma dos produtos das entradas da linha da matriz pelas componentes do vetor. Assim,
Para mostrar que T é representável por uma matriz diagonal na base dada, o caminho prático é verificar se os vetores da base são autovetores (e então encontrar os autovalores). Começamos com v_{1}=(1,4). Aplicando T em v_{1} usando a matriz A:
Verificamos se esse resultado é múltiplo de v_{2}. Note que \begin{pmatrix}322\\[2pt]230\end{pmatrix}=46\begin{pmatrix}7\\[2pt]5\end{pmatrix} porque 7\cdot46=322 e 5\cdot46=230. Assim,
T(v_{2})=46\,v_{2},
logo v_{2} é autovetor com autovalor \lambda_{2}=46.]
Passo 7
Para que a base \{v_{1},v_{2}\} seja realmente uma base de \mathbb{R}^{2} precisamos que v_{1} e v_{2} sejam linearmente independentes. Uma forma simples é formar a matriz P cujas colunas são v_{1} e v_{2}: