Encontre condições sobre os bi 's para que cada um dos sistemas seja consistente (isto é, tenha solução):
rlx1-2 x2-x3 & =b1 -4 x1+5 x2+2 x3 & =b2 -4 x1+7 x2+4 x3 & =b3.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x1-2x2-x3=b1, -4x1+5x2+2x3=b2, -4x1+7x2+4x3=b3,
e pede condições sobre b1,b2,b3 para que haja solução. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: basta verificar o determinante da matriz dos coeficientes para decidir se o sistema é sempre consistente ou se impõe alguma restrição aos bi.

Passo 2

Vamos formar a matriz dos coeficientes
A= 1 & -2 & -1 -4 & 5 & 2 -4 & 7 & 4
e calcular seu determinante. Se det(A)neq0, então A é invertível e o sistema Ax=b tem solução única para todo vetor b=(b1,b2,b3).

Passo 3

Expandindo det(A) pela primeira linha, temos
det(A) =1cdotdet5&27&4 -(-2)cdotdet-4&2-4&4 +(-1)cdotdet-4&5-4&7
Agora cada menor:
det5&27&4 =5cdot4-2cdot7=20-14=6,
det-4&2-4&4 =(-4)cdot4-2cdot(-4)=-16+8=-8,
det-4&5-4&7 =(-4)cdot7-5cdot(-4)=-28+20=-8
Substituindo,
det(A) =1cdot6 -(-2)cdot(-8) +(-1)cdot(-8) =6-16+8=-2neq0

Passo 4

Como , concluímos que . Para qualquer vetor , a matriz aumentada também terá posto , logo sempre ocorrerá . Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema é consistente para todo .

Resposta

O sistema é consistente para quaisquer valores de b1,b2,b3; não há restrição sobre eles.

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