Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados e é concorrente com a reta e passa pelo ponto .
Passo 1
O enunciado pede a equação vetorial de uma reta que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados e passa por , além de ser concorrente à reta
Formar ângulos congruentes com os eixos significa ter os cossenos diretores de mesmo módulo. Vamos usar a forma paramétrica de , impor que a reta buscada passe em e encontre a condição de igual módulo nos componentes do vetor diretor.
Passo 2
Escrevemos em parâmetro :
Se a reta desejada intercepta em e passa por , seu vetor diretor pode ser
Passo 3
Para ter cossenos diretores de mesmo módulo, as componentes de PQ satisfazem
|t-1|=|-1-2t|=|t-1|
A condição relevante é
|t-1|=|-1-2t|
Sem valor absoluto, isso gera dois casos:
t-1=-1-2timplies t=0.
t-1=1+2timplies t=-2.
Passo 4
Para t=0 obtemos PQ=(-1,-1,-1).
Para t=-2 obtemos PQ=(-3,3,-3).
Em ambos os casos as componentes têm mesmo módulo, garantindo ângulos congruentes.
Passo 5
As duas retas procuradas passam por P(3,0,1) e têm vetores diretores proporcionais a (-1,-1,-1) ou a (-3,3,-3).