Obtenha uma equação vetorial da reta que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados e é concorrente com a reta s: x-21=y+1-2=z1 e passa pelo ponto (3,0,1)Sigma.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial de uma reta que forma ângulos congruentes com os eixos coordenados e passa por P(3,0,1), além de ser concorrente à reta
s:x-21=y+1-2=z1
Formar ângulos congruentes com os eixos significa ter os cossenos diretores de mesmo módulo. Vamos usar a forma paramétrica de s, impor que a reta buscada passe em P e encontre a condição de igual módulo nos componentes do vetor diretor.

Passo 2

Escrevemos s em parâmetro t:
x=2+t, y=-1-2t, z=t
Se a reta desejada intercepta s em Q=(2+t,,-1-2t,,t) e passa por P(3,0,1), seu vetor diretor pode ser
PQ=Q-P=(t-1,;-1-2t,;t-1)

Passo 3

Para ter cossenos diretores de mesmo módulo, as componentes de PQ satisfazem
|t-1|=|-1-2t|=|t-1|
A condição relevante é
|t-1|=|-1-2t|
Sem valor absoluto, isso gera dois casos:
  1. t-1=-1-2timplies t=0.
  2. t-1=1+2timplies t=-2.

Passo 4

Para t=0 obtemos PQ=(-1,-1,-1).
Para t=-2 obtemos PQ=(-3,3,-3).
Em ambos os casos as componentes têm mesmo módulo, garantindo ângulos congruentes.

Passo 5

As duas retas procuradas passam por P(3,0,1) e têm vetores diretores proporcionais a (-1,-1,-1) ou a (-3,3,-3).

Resposta

As equações vetoriais são
r1=(3,0,1)+lambda,(-1,-1,-1), r2=(3,0,1)+lambda,(-3,3,-3)

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