r Seja [T]=[rr1 & -2 2 & 0 -1 & 3]
a matriz canônica de uma transformação linear T: R^2 longrightarrow R^3. Se T(v)=(2,4,-2), calcular v .

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^2toR^3 cuja matriz canônica é
[T] = 1 & -2 2 & 0 -1 & 3
e diz que T(v)=(2,4,-2). Queremos achar o vetor vinR^2. O conteúdo é multiplicação de matriz por vetor e solução de sistema linear.

Passo 2

Seja v=(x,y). O produto matricial T(v)=[T],v gera o sistema
1cdot x + (-2)cdot y = 2, 2cdot x + 0cdot y = 4, -1cdot x + 3cdot y = -2

Passo 3

Da segunda equação temos
2x = 4 Longrightarrow x = 2

Passo 4

Substituindo x=2 na primeira equação:
2 - 2y = 2 Longrightarrow -2y = 0 Longrightarrow y = 0

Passo 5

Verificamos na terceira equação:
-1cdot 2 + 3cdot 0 = -2,
que coincide com o termo independente, confirmando a solução.

Passo 6

Logo o vetor procurado é
v = (x,y) = (2,0)

Resposta

v = (2,0).

Exercícios relacionados