( 3,0 pontos) Considere as retas r e s definidas pelas equações simétricas a seguir:
r: x-24=y+3-1=z+23 e s:l 3 x+2 y+z=-2 x-y+2 z=1
a) Estude e apresente a posição relativa das retas.
b) Determine r cap s, ou explique por quê não existe.
c) Verifique se as retas são ortogonais e/ou perpendiculares. Se não forem, determine o ângulo entre as retas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3. A reta r está em forma simétrica e a reta s como interseção de dois planos. Vamos estudar três coisas: posição relativa das retas, ponto de interseção rcap s (se existir) e verificar se são ortogonais ou, em caso contrário, determinar o ângulo entre elas. Para isso extraímos as equações paramétricas, vetores diretores e pontos em cada uma.

Passo 2

Para a reta r, definimos o parâmetro t pela
x-24=y+3-1=z+23=t
Logo
x=2+4t, y=-3 -t, z=-2+3t
Dessa forma, um ponto em r é A=(2,-3,-2) e um vetor diretor é
u=(4,,-1,,3)

Passo 3

Para a reta
Tomando é (para ) e o vetor diretor é, por exemplo,
Na verdade basta notar que dos coeficientes de o vetor diretor é
ou, invertendo o sentido,

Passo 4

Para ver se r e s são paralelas, comparamos u e v. Se fossem paralelos haveria u = lambda, v; mas
(4,-1,3)times(1,-1,-1)neq0,
logo não são paralelas. Para saber se se intersectam, impomos
2+4t = -s, -3 -t = s-1, -2+3t = s
Da terceira equação s=-2+3t. Substituindo na segunda:
-3 -t = (-2+3t)-1 ;Longrightarrow;-3 -t = -3 +3t ;Longrightarrow;t=0, s=-2
Verificando na primeira:
2+4cdot0 = 2, -(-2)=2,
confere. Portanto há interseção num único ponto.

Passo 5

O ponto de interseção é dado por t=0 em r (ou s=-2 em s), isto é
rcap s = l(2,-3,-2r)

Passo 6

Para verificar ortogonalidade calculamos o produto escalar
ucdot v = (4)(1)+(-1)(-1)+(3)(-1)=4+1-3=2neq0
Como não é zero, não são ortogonais. O ângulo theta entre elas satisfaz
costheta = ucdot v| u|;| v| = 2raiz4^2+(-1)^2+3^2;raiz1^2+(-1)^2+(-1)^2 = 2raiz26,raiz3 = 2raiz78
Logo
theta = arccos!l(tfrac2raiz78r)

Resposta

a) As retas não são paralelas nem coincidentes; interceptam-se num ponto (são concorrentes).
b) rcap s = (2,-3,-2).
c) Não são ortogonais; o ângulo entre elas é
theta = arccos!l(tfrac2raiz78r)

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