( 3,0 pontos) Considere as retas r e s definidas pelas equações simétricas a seguir:
a) Estude e apresente a posição relativa das retas.
b) Determine
, ou explique por quê não existe.
c) Verifique se as retas são ortogonais e/ou perpendiculares. Se não forem, determine o ângulo entre as retas.
b) Determine
c) Verifique se as retas são ortogonais e/ou perpendiculares. Se não forem, determine o ângulo entre as retas.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em
. A reta
está em forma simétrica e a reta
como interseção de dois planos. Vamos estudar três coisas: posição relativa das retas, ponto de interseção
(se existir) e verificar se são ortogonais ou, em caso contrário, determinar o ângulo entre elas. Para isso extraímos as equações paramétricas, vetores diretores e pontos em cada uma.
Passo 2
Para a reta
, definimos o parâmetro
pela
Logo
Dessa forma, um ponto em
é
e um vetor diretor é
Passo 3
Para a reta
Tomando é
(para
) e o vetor diretor é, por exemplo,
Na verdade basta notar que dos coeficientes de
o vetor diretor é
ou, invertendo o sentido,
Passo 4
Para ver se
e
são paralelas, comparamos
e
. Se fossem paralelos haveria
; mas
logo não são paralelas. Para saber se se intersectam, impomos
Da terceira equação
. Substituindo na segunda:
Verificando na primeira:
confere. Portanto há interseção num único ponto.
Passo 5
O ponto de interseção é dado por
em
(ou
em
), isto é
Passo 6
Para verificar ortogonalidade calculamos o produto escalar
Como não é zero, não são ortogonais. O ângulo
entre elas satisfaz
Logo
Resposta
a) As retas não são paralelas nem coincidentes; interceptam-se num ponto (são concorrentes).
b) .
c) Não são ortogonais; o ângulo entre elas é
b)
c) Não são ortogonais; o ângulo entre elas é