Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para equação diferencial y^prime prime+4 y^prime+3 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(1)=1 y1^prime(1)=0 e l y2(1)=0 y2^prime(1)=1
Escolha uma opção:
y1(t)=-12[-e^2(t-1)+3 e^-(t-1)] e y2(t)=-12[-e^3(t-1)+e^-(t-1)]

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação característica associada é
r^2 + 4r + 3 = 0

Passo 2

Resolvendo, obtemos as raízes
r = -1 e r = -3
Logo, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-3t

Passo 3

Para encontrar y1 satisfazendo y1(1)=1 e y1'(1)=0, montamos o sistema:
C1 e^-1 + C2 e^-3 = 1, -C1 e^-1 -3C2 e^-3 = 0
Resolvendo esse sistema para C1 e C2, achamos
C1 = tfrac3e2, C2 = -tfrace^32, e, portanto,
y1(t) = tfrac3e2e^-t - tfrace^32e^-3t = tfrac12l(3e^-(t-1) - e^-3(t-1)r)

Passo 4

Para encontrar y2 satisfazendo y2(1)=0 e y2'(1)=1, montamos o sistema:
C1 e^-1 + C2 e^-3 = 0, -C1 e^-1 -3C2 e^-3 = 1
Resolvendo para C1 e C2, obtemos
C1 = tfrace2, C2 = -tfrace^32, e então
y2(t) = tfrace2e^-t - tfrace^32e^-3t = tfrac12l(e^-(t-1) - e^-3(t-1)r)

Resposta

As soluções com as condições dadas são
y1(t) = 12l(3e^-(t-1) - e^-3(t-1)r), y2(t) = 12l(e^-(t-1) - e^-3(t-1)r)

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