certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção: 2
Nenhuma das demais alternativas -infty 0 0 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Nosso objetivo é determinar em qual intervalo de $ t $ essa equação possui uma única solução que é duas vezes diferenciável. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais ordinárias. Precisaremos verificar onde os coeficientes da equação são contínuos e onde não há pontos singulares que possam impedir a existência de uma solução única.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
(t-3) y'' + t y' + (ln |t|) y = 0
Podemos dividir todos os termos por $ t - 3 $ para deixar a equação na forma padrão:
t - 3
Aqui, identificamos os coeficientes:
y'' + tt-3 y' + ln |t|t-3 y = 0
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que $ P(t) $ e $ Q(t) $ sejam contínuos no intervalo considerado. Vamos analisar onde esses coeficientes podem não ser contínuos:
Denominador $ t - 3 $: Se $ t = 3 $, o denominador se torna zero, o que causa uma descontinuidade.
Termo $ \ln |t| $: O logaritmo natural está definido apenas para $ t > 0 $.
Então, os pontos críticos são $ t = 0 $ e $ t = 3 $.
Passo 4
Agora, vamos analisar os intervalos possíveis fornecidos nas opções:
$ 2 < t < \frac{3\pi}{4} $: Aqui, $ t $ está entre 2 e aproximadamente 2,356, ambos maiores que 0 e menores que 3. Não há problemas de continuidade.
$ -\infty < t < 1 $: $ t $ pode ser negativo, o que faz $ \ln |t| $ válido, mas $ t $ passando por 0 causa problemas.
$ 0 < t < 4 $: Inclui $ t = 3 $, onde a equação não é contínua.
$ 0 < t < 3 $: $ t $ varia de 0 a 3, sem incluir 3, mantendo a continuidade.
$ 0 < t < \infty $: Inclui $ t = 3 $, causando uma descontinuidade.
Nenhuma das demais alternativas: Caso nenhuma opção seja correta.
Passo 5
Analisando as opções, a que melhor atende aos critérios de $ t $ estar no domínio onde os coeficientes são contínuos é $ 0 < t < 3 $. Nesse intervalo, $ t $ está sempre maior que 0, garantindo que $ \ln |t| $ seja definido, e $ t $ nunca alcança 3, evitando a descontinuidade.
Resposta
A equação diferencial possui uma única solução duas vezes diferenciável no intervalo $ 0 < t < 3 $.