l (t-3) y^prime prime+t y^prime+(ln |t|) y=0 y(1)=0 y^prime(1)=1
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção:
2
Nenhuma das demais alternativas
-infty
0
0
0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Nosso objetivo é determinar em qual intervalo de $ t $ essa equação possui uma única solução que é duas vezes diferenciável. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais ordinárias. Precisaremos verificar onde os coeficientes da equação são contínuos e onde não há pontos singulares que possam impedir a existência de uma solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
(t-3) y'' + t y' + (ln |t|) y = 0
Podemos dividir todos os termos por $ t - 3 $ para deixar a equação na forma padrão:
t - 3
Aqui, identificamos os coeficientes:
y'' + tt-3 y' + ln |t|t-3 y = 0

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, precisamos que $ P(t) $ e $ Q(t) $ sejam contínuos no intervalo considerado. Vamos analisar onde esses coeficientes podem não ser contínuos:
  1. Denominador $ t - 3 $: Se $ t = 3 $, o denominador se torna zero, o que causa uma descontinuidade.
  2. Termo $ \ln |t| $: O logaritmo natural está definido apenas para $ t > 0 $.
Então, os pontos críticos são $ t = 0 $ e $ t = 3 $.

Passo 4

Agora, vamos analisar os intervalos possíveis fornecidos nas opções:
  1. $ 2 < t < \frac{3\pi}{4} $: Aqui, $ t $ está entre 2 e aproximadamente 2,356, ambos maiores que 0 e menores que 3. Não há problemas de continuidade.
  2. $ -\infty < t < 1 $: $ t $ pode ser negativo, o que faz $ \ln |t| $ válido, mas $ t $ passando por 0 causa problemas.
  3. $ 0 < t < 4 $: Inclui $ t = 3 $, onde a equação não é contínua.
  4. $ 0 < t < 3 $: $ t $ varia de 0 a 3, sem incluir 3, mantendo a continuidade.
  5. $ 0 < t < \infty $: Inclui $ t = 3 $, causando uma descontinuidade.
  6. Nenhuma das demais alternativas: Caso nenhuma opção seja correta.

Passo 5

Analisando as opções, a que melhor atende aos critérios de $ t $ estar no domínio onde os coeficientes são contínuos é $ 0 < t < 3 $. Nesse intervalo, $ t $ está sempre maior que 0, garantindo que $ \ln |t| $ seja definido, e $ t $ nunca alcança 3, evitando a descontinuidade.

Resposta

A equação diferencial possui uma única solução duas vezes diferenciável no intervalo $ 0 < t < 3 $.
Opção correta: $ 0<t<3 $

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