Resolva os sistemas de equações diferenciais usando o Método dos Operadores.
l (D^2-1) x-y=0 (D-1) x+D y=0

Passo 1

O sistema dado é (D^2-1)x - y = 0 (D-1)x + D y = 0. Vamos usar o Método dos Operadores, onde D = ddt. Precisamos eliminar uma variável para achar uma EDO só em x e depois voltar para y.

Passo 2

Da primeira equação temos y = (D^2 - 1)x. Substituindo em (D-1)x + D y = 0, obtemos
(D-1)x + Dl((D^2-1)xr)=0 (D-1)x + (D^3 - D)x =0 (D^3 -1)x =0

Passo 3

A equação característica de (D^3-1)x=0 é r^3-1=0, cujas raízes são r=1 e r= -tfrac12pm i,tfracraiz32. Logo a solução geral de x(t) é
x(t)=C1 e^t + e^-t/2l(C2costfracraiz32t + C3sintfracraiz32tr)

Passo 4

Agora usamos y=(D^2-1)x = x''-x. Calculando x''-x para cada termo de x(t), vemos que o modo e^t dá zero em y, e para e^-t/2cos(tfracraiz32t) e e^-t/2sin(tfracraiz32t) achamos que
y(t)=e^-t/2l[l(-tfrac32C2 - tfracraiz32C3r)costfracraiz32t + l(-tfrac32C3r)sintfracraiz32tr]

Resposta

x(t)=C_1 e^t + e^{-t/2}\bigl(C_2\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)+C_3\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr),\
y(t)=e^{-t/2}\Bigl[\bigl(-\tfrac32C_2 - \tfrac{\sqrt3}{2}C_3\bigr)\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)-\tfrac32C_3\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\Bigr]

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