Resolva os sistemas de equações diferenciais usando o Método dos Operadores.
Passo 1
O sistema dado é
. Vamos usar o Método dos Operadores, onde
. Precisamos eliminar uma variável para achar uma EDO só em
e depois voltar para
.
Passo 2
Da primeira equação temos
. Substituindo em
, obtemos
Passo 3
A equação característica de
é
, cujas raízes são
e
. Logo a solução geral de
é
Passo 4
Agora usamos
. Calculando
para cada termo de
, vemos que o modo
dá zero em
, e para
e
achamos que
Resposta
x(t)=C_1 e^t + e^{-t/2}\bigl(C_2\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)+C_3\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr),\
y(t)=e^{-t/2}\Bigl[\bigl(-\tfrac32C_2 - \tfrac{\sqrt3}{2}C_3\bigr)\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)-\tfrac32C_3\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\Bigr]
y(t)=e^{-t/2}\Bigl[\bigl(-\tfrac32C_2 - \tfrac{\sqrt3}{2}C_3\bigr)\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)-\tfrac32C_3\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\Bigr]