(a) f(x)=cllx^2-x-6x-3 & se & x neq 3 5 & se & x=3
(b) f(x)=cllx^2+x-2(x-1)^2 & se & x neq 1 0 & se & x=1
© f(x)=clcsen(x^2-4)+5 & se & x>2 x^2+x-6x-2 & se & x<2 5 & se & x=2
(d) f(x)=cl|x^2-4 x+3|x-3 & se x neq 3 1 & se & x=3
(e) f(x)=clx^2-9x-3 & se & x neq 3 a & se & x=3

Passo 1

Temos cinco funções definidas por partes e o objetivo é estudar a continuidade nos pontos críticos onde o papel muda (x=3 em (a), x=1 em (b), x=2 em ©, x=3 em (d) e x=3 em (e)). Para isso vamos usar limites e simplificação algébrica.

Passo 2

Uma função f é contínua em x₀ se e somente se limxto x₀f(x)=f(x₀). Quando a expressão dá indeterminação, simplificamos, calculamos o limite (direcional se preciso) e comparamos com o valor atribuído em x₀.

Passo 3

Em (a) para x≠3 temos
x^2 - x - 6x - 3 = (x-3)(x+2)x-3 = x + 2
Logo
limxto3f(x)=3+2=5
e como f(3)=5, a função é contínua em x=3 (e logo em todo R).

Passo 4

Em (b) para x≠1 simplificamos
x^2 + x - 2(x-1)^2 = (x-1)(x+2)(x-1)^2 = x+2x-1
Ao aproximar x de 1, o denominador vai a zero com numerador ≈3, dando pminfty. Como f(1)=0, não coincide com o limite, logo há descontinuidade em x=1.

Passo 5

Em © para x<2
f(x)=x^2+x-6x-2=x+3, limxto2^-(x+3)=5,
e para x>2
f(x)=sin(x^2-4)+5, limxto2^+l[sin(x^2-4)+5r]=sin0+5=5
Como f(2)=5, limites laterais iguais e iguais a f(2), é contínua em x=2 (e em todo domínio).

Passo 6

Em (d) para x≠3 escrevemos
Limites laterais em 3 são
|x^2-4x+3|=| (x-1)(x-3) |, f(x)=|x-1|,|x-3|x-3=|x-1|,sgn(x-3) e
limxto3^-f(x)=|2|(-1)=-2,
mas f(3)=1, logo há salto e descontinuidade em x=3.

Passo 7

Em (e) para x≠3 simplificamos
x^2-9x-3=x+3, limxto3f(x)=6
Para que f seja contínua em x=3 devemos ter f(3)=a=6.

Resposta

(a) contínua em todo R
(b) descontínua em x=1
© contínua em todo domínio
(d) descontínua em x=3
(e) para continuidade em x=3 deve ser a=6

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