Encontre o conjunto solução da equação
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a equação logarítmica
e pede o conjunto solução (as opções fornecidas são as alternativas a) a d)). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função logarítmica tem base
. - O argumento do logaritmo é a expressão
. - Para que a expressão
esteja definida, o argumento deve ser estritamente positivo: .
A partir disso, devemos encontrar todos os valores reais deque satisfaçam a equação e a condição de existência do logaritmo.
Passo 2
Lembrete prático sobre logaritmos (mini-aula): a definição e uma propriedade útil.
- Por definição,
significa que . - Condições necessárias:
, e .
Exemplo rápido para fixar:porque .
No nosso caso a base é(que satisfaz e ), então podemos aplicar a propriedade inversa do logaritmo para passar para uma equação algébrica.
Passo 3
Aplicando a propriedade
à equação dada:
equivale a
Calcule
:
Logo obtemos a equação algébrica
Passo 4
Passar todos os termos para um lado para formar uma equação quadrática padrão:
Passo 5
Resolver a equação quadrática
.
Tentar fatorar: procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão
. Esses números são
e
. Assim:
Tentar fatorar: procuramos dois números que multiplicados dão
Portanto as soluções da quadrática são obtidas impondo cada fator igual a zero:
Passo 6
Agora temos que verificar a condição de existência do logaritmo e conferir que as raízes realmente satisfazem a equação original.
- Condição de existência: verificar
.
- Observação rápida (curiosidade): o discriminante da quadrática
é , logo essa quadrática nunca zera e, como o coeficiente de é positivo, tem valor positivo para todo . Assim a condição é satisfeita para qualquer real — em particular para e .
- Verificação direta nas soluções encontradas:
- Para
:
- Para
:
Ambas as raízes produzem argumento positivo e satisfazem a igualdade original, portanto são soluções válidas.
Resposta
a)