Encontre o conjunto solução da equação \operatorname{logarítmica~} \log _{2}\left(x^{2}-3 x+6\right)=2.
a) \{1,2\}
b) \{-1,-2\}
c) \{2,3\}
d) \{1,-2\}

Passo 1

O enunciado dá a equação logarítmica \log_{2}\!\bigl(x^{2}-3x+6\bigr)=2 e pede o conjunto solução (as opções fornecidas são as alternativas a) a d)). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função logarítmica tem base 2.
  • O argumento do logaritmo é a expressão x^{2}-3x+6.
  • Para que a expressão \log_{2}\!(\cdot) esteja definida, o argumento deve ser estritamente positivo: x^{2}-3x+6>0.
    A partir disso, devemos encontrar todos os valores reais de x que satisfaçam a equação e a condição de existência do logaritmo.

Passo 2

Lembrete prático sobre logaritmos (mini-aula): a definição e uma propriedade útil.
  • Por definição, \log_{a}(b)=c significa que a^{c}=b.
  • Condições necessárias: a>0, a\neq1 e b>0.
    Exemplo rápido para fixar: \log_{10}(100)=2 porque 10^{2}=100.
    No nosso caso a base é 2 (que satisfaz 2>0 e 2\neq1), então podemos aplicar a propriedade inversa do logaritmo para passar para uma equação algébrica.

Passo 3

Aplicando a propriedade \log_{a}(b)=c \iff a^{c}=b à equação dada:
\log_{2}\!\bigl(x^{2}-3x+6\bigr)=2
equivale a
x^{2}-3x+6 = 2^{2}.
Calcule 2^{2}:
2^{2}=4.
Logo obtemos a equação algébrica
x^{2}-3x+6 = 4.

Passo 4

Passar todos os termos para um lado para formar uma equação quadrática padrão:
x^{2}-3x+6-4=0
x^{2}-3x+2=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática \;x^{2}-3x+2=0\;.
Tentar fatorar: procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Assim:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Portanto as soluções da quadrática são obtidas impondo cada fator igual a zero:
x-1=0 \implies x=1, \qquad x-2=0 \implies x=2.

Passo 6

Agora temos que verificar a condição de existência do logaritmo e conferir que as raízes realmente satisfazem a equação original.
  1. Condição de existência: verificar x^{2}-3x+6>0.
  • Observação rápida (curiosidade): o discriminante da quadrática x^{2}-3x+6 é \Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot6 = 9-24 = -15<0, logo essa quadrática nunca zera e, como o coeficiente de x^{2} é positivo, tem valor positivo para todo x\in\mathbb{R}. Assim a condição x^{2}-3x+6>0 é satisfeita para qualquer x real — em particular para x=1 e x=2.
  1. Verificação direta nas soluções encontradas:
  • Para x=1:
x^{2}-3x+6 = 1-3+6=4,
\log_{2}(4)=2 \quad\text{(porque }2^{2}=4\text{)}.
  • Para x=2:
x^{2}-3x+6 = 4-6+6=4,
\log_{2}(4)=2.
Ambas as raízes produzem argumento positivo e satisfazem a igualdade original, portanto são soluções válidas.

Resposta

a) \{1,2\}

Exercícios relacionados