Derive as seguintes funções:
i(x)=\frac{7}{e^{2 x}}\

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:\n
  • Dado: i(x)=\frac{7}{e^{2x}}.\n
  • Pedido: calcular a derivada i'(x) (ou seja, derivar a função em relação a x).\n
    Vou proceder passo a passo, explicando as regras que uso.

Passo 2

Relembrando fórmulas úteis (com explicação simples):\n
  • Regra do fator constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, se c é constante e f(x) uma função, então \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).\n
  • Derivada da exponencial com função no expoente (regra da cadeia): se u(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
Explicação da regra da cadeia: primeiro derivamos o “bloco interno” u(x) para obter u'(x), e multiplicamos pelo resultado da derivada da exponencial vista como função externa.

Passo 3

Primeiro, é mais prático reescrever i(x) usando exponencial com expoente negativo:
i(x)=\frac{7}{e^{2x}}=7\cdot e^{-2x}.
Aqui usei a identidade 1/e^{2x}=e^{-2x}.

Passo 4

Aplicando a regra do fator constante e a regra da cadeia:\n
  • Pelo fator constante, 7 sai multiplicando a derivada de e^{-2x}.\n
  • Pela regra da cadeia, a derivada de e^{-2x} é o derivado do expoente -2x multiplicando e^{-2x}. O derivado de -2x em relação a x é -2.\n
    Portanto, antes de simplificar, obtemos
i'(x)=7\cdot\big(\text{derivada de }e^{-2x}\big)=7\cdot\big((-2)\cdot e^{-2x}\big).

Passo 5

Interpretando o que temos: a expressão 7\cdot((-2)\cdot e^{-2x}) é a forma não simplificada da derivada, obtida diretamente pelas regras. Não vou repetir a forma final simplificada aqui; o resultado final está na seção de resposta única abaixo.

Resposta

-14\,e^{-2x}
-\dfrac{14}{e^{2x}}

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