Derive as seguintes funções:
h(x)=\frac{1}{\operatorname{sex} x}

Passo 1

O enunciado dá a função \;h(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sex} x}; e pede para derivá‑la (ou seja, encontrar h'(x)).
Observação importante: vou interpretar que \operatorname{sex} x é uma escrita equivocada para \operatorname{sec} x (a função secante), pois \operatorname{sex} não é uma função trigonométrica padrão. Trabalharei assumindo \operatorname{sex} x=\operatorname{sec} x.
Informações relevantes que temos:
  • A função dada é \;h(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sec} x}.
  • O objetivo é calcular a derivada h'(x).
  • Podemos usar identidades trigonométricas e regras de diferenciação básicas (potência, cadeia, derivadas das funções trigonométricas).

Passo 2

Primeiro passo simples: usar identidade trigonométrica para simplificar h(x). Lembrando que por definição
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
Então
h(x)=\frac{1}{\operatorname{sec} x}=\frac{1}{\dfrac{1}{\cos x}}=\cos x.
Explicação didática: a secante é o recíproco do cosseno. Tomando o recíproco de \operatorname{sec} x obtemos de volta \cos x. Isso simplifica muito a derivação: basta derivar \cos x.

Passo 3

Agora usar a regra básica de derivação para cosseno. A fórmula que precisamos conhecer é:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
O que isso significa: a derivada da função cosseno em relação a x é o negativo do seno de x. Aqui a variável independente é x; quando eu escrevo \cos x e \sin x, são funções de x.
Breve intuição (sem prova por limite): a função cosseno varia de forma que sua taxa de variação instantânea em cada ponto é dada por -\sin x. Para a prova formal usa‑se limite do quociente incremental, mas na prática de prova basta decorar/entender esta derivada básica.

Passo 4

Aplicando a regra do Passo 3 à função que encontramos no Passo 2:
h(x)=\cos x \quad\Longrightarrow\quad h'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.

Passo 5

Mostro também um método alternativo (útil se não perceber logo a simplificação) para reforçar a técnica: escrever h como potência de \operatorname{sec} x e aplicar a regra da cadeia/recíproco. Escrevemos
h(x)=(\operatorname{sec} x)^{-1}.
Regra para recíproco: se u(x) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big(u^{-1}\big)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}.
Aqui u(x)=\operatorname{sec} x. Sabemos também que
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\big)=\operatorname{sec} x\tan x.
Logo, aplicando a regra:
h'(x)=-\frac{\operatorname{sec} x\tan x}{(\operatorname{sec} x)^2}=-\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x}.
Agora simplificamos usando \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}:
-\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x}=-\frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos x}}=-\sin x.
Resultado coincide com o do Passo 4. Isso mostra duas maneiras consistentes de chegar à mesma resposta.

Passo 6

Exemplo extra rápido para fixar (prática): se g(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sec}(2x)}, então g(x)=\cos(2x) e
g'(x)=-2\sin(2x),
pois usa‑se a regra da cadeia na derivada do cosseno.

Resposta

-\sin x

Exercícios relacionados