Derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
; e pede para derivá‑la (ou seja, encontrar
).
Observação importante: vou interpretar que é uma escrita equivocada para
(a função secante), pois
não é uma função trigonométrica padrão. Trabalharei assumindo
.
Observação importante: vou interpretar que
Informações relevantes que temos:
- A função dada é
. - O objetivo é calcular a derivada
. - Podemos usar identidades trigonométricas e regras de diferenciação básicas (potência, cadeia, derivadas das funções trigonométricas).
Passo 2
Primeiro passo simples: usar identidade trigonométrica para simplificar
. Lembrando que por definição
Então
Explicação didática: a secante é o recíproco do cosseno. Tomando o recíproco de
obtemos de volta
. Isso simplifica muito a derivação: basta derivar
.
Passo 3
Agora usar a regra básica de derivação para cosseno. A fórmula que precisamos conhecer é:
O que isso significa: a derivada da função cosseno em relação a
é o negativo do seno de
. Aqui a variável independente é
; quando eu escrevo
e
, são funções de
.
Breve intuição (sem prova por limite): a função cosseno varia de forma que sua taxa de variação instantânea em cada ponto é dada por
. Para a prova formal usa‑se limite do quociente incremental, mas na prática de prova basta decorar/entender esta derivada básica.
Passo 4
Aplicando a regra do Passo 3 à função que encontramos no Passo 2:
Passo 5
Mostro também um método alternativo (útil se não perceber logo a simplificação) para reforçar a técnica: escrever
como potência de
e aplicar a regra da cadeia/recíproco. Escrevemos
Regra para recíproco: se
é uma função diferenciável, então
Aqui
. Sabemos também que
Logo, aplicando a regra:
Agora simplificamos usando
e
:
Resultado coincide com o do Passo 4. Isso mostra duas maneiras consistentes de chegar à mesma resposta.
Passo 6
Exemplo extra rápido para fixar (prática): se
, então
e
pois usa‑se a regra da cadeia na derivada do cosseno.