Esboce detalhadamente a região limitada pelas curvas abaixo e calcule sua área.
x=-pi, x=pi, y=sen(x), y=0;

Passo 1

Resumo do enunciado e identificação do conteúdo: temos a região no plano delimitada pelas retas x=-pi, x=pi, a curva y=sin x e o eixo y=0. Precisamos esboçar essa região e calcular sua área usando integrais definidas.

Passo 2

Análise do esboço da região: a função sin x cruza o eixo em x=-pi, x=0 e x=pi. No intervalo [-pi,0], sin x fica abaixo do eixo (negativa) e no intervalo [0,pi] ela fica acima do eixo (positiva). A região é fechada pelos segmentos verticais em x=-pi e x=pi, pelo arco de y=sin x e pelo eixo y=0.

Passo 3

Aplicação da teoria de área entre curvas: para curvas y=f(x) e y=g(x), a área entre elas de a a b é integrala^b|f(x)-g(x)|,dx. Aqui f(x)=sin x e g(x)=0, logo a área total é integral-pi^pi|sin x|,dx.

Passo 4

Cálculo separando em dois trechos para tratar o valor absoluto: no trecho [0,pi], sin x>=0 então
integral0^pi|sin x|,dx=integral0^pisin x,dx=-l[cos xr]0^pi=-(cospi-cos0)=-( -1-1)=2
No trecho [-pi,0], sin x<=0 então |sin x|=-sin x e
integral-pi^0|sin x|,dx=integral-pi^0(-sin x),dx=-l[-cos xr]-pi^0=-l(-cos0+cos(-pi)r)=-(-1+(-1))=2

Passo 5

Soma das duas áreas e conclusão: somando as contribuições dos dois intervalos, a área total da região é 2+2=4.

Resposta

4

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