Encontre o conjunto solução das equações abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valor absoluto lvert 2x^2 - 3rvert - x = 3. O conteúdo principal é equações que envolvem valor absoluto e vamos precisar usar a definição de módulo dividindo em casos conforme o sinal da expressão interna.

Passo 2

Para tratar o valor absoluto, isolamos lvert 2x^2 - 3rvert e consideramos dois cenários:
Caso 1: 2x^2 - 3 >= 0
Caso 2: 2x^2 - 3 < 0

Passo 3

No Caso 1, temos 2x^2 - 3 >= 0, ou seja x^2 >= tfrac32, isto é x <= -raiz3/2 ou x >= raiz3/2. Nesse intervalo, lvert 2x^2 - 3rvert = 2x^2 - 3. Substituindo na equação:
2x^2 - 3 = x + 3
Rearranjando:
2x^2 - x - 6 = 0
O discriminante é De, logo as raízes são:
x = 1 pm 74 implies x = 2 ou x = -tfrac32

Passo 4

Agora filtramos pelas condições de Case 1: para x = 2 temos 2 >= raiz3/2, ok; para x = -tfrac32 temos -tfrac32 <= -raiz3/2, também ok. Logo ambas são válidas.

Passo 5

No Caso 2, temos 2x^2 - 3 < 0, ou seja x^2 < tfrac32, isto é -raiz3/2 < x < raiz3/2. Nesse intervalo, lvert 2x^2 - 3rvert = 3 - 2x^2. Substituindo:
3 - 2x^2 = x + 3
Simplificando:
-2x^2 - x = 0 implies x(-2x - 1) = 0
Portanto x = 0 ou x = -tfrac12.

Passo 6

Ambas as soluções cabem em -raiz3/2 < x < raiz3/2, então são válidas.

Passo 7

Unindo todos os resultados válidos dos dois casos, obtemos o conjunto solução:
{,-\tfrac{3}{2},,-\tfrac{1}{2},,0,,2}

Resposta

{ -\tfrac{3}{2},, -\tfrac{1}{2},,0,,2 }

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