Encontre o conjunto solução das equações para s in C.
s^6+7 s^3-8=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação s^6 + 7s^3 - 8 = 0. O conteúdo principal envolve resolução de polinômios por substituição e cálculo de raízes complexas em forma trigonométrica.

Passo 2

Faço a substituição x = s^3. Assim a equação vira
x^2 + 7x - 8 = 0
que é um polinômio quadrático em x. Uso a fórmula de Bhaskara:
De
x = -7 pm raiz812 = -7 pm 92,
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x1 = 1, x2 = -8

Passo 3

Para o caso s^3 = 1, uso o fato de que as raízes cúbicas da unidade são
sk = e^i2pi k3, k = 0,1,2
Em forma algébrica isso dá
1, -tfrac12 + itfracraiz32, -tfrac12 - itfracraiz32

Passo 4

Para o caso s^3 = -8, escrevo -8 = 8e^ipi e as raízes são
sk = 2e^ipi + 2pi k3 = 2e^il(tfracpi3 + tfrac2pi k3r), k = 0,1,2
Calculando para cada k:
k=0:; s = 2e^ipi/3 = 1 + iraiz3,
k=1:; s = 2e^ipi = -2,
k=2:; s = 2e^i5pi/3 = 1 - iraiz3

Passo 5

Reunindo todas as seis raízes obtidas nos dois casos, temos o conjunto solução.

Resposta

{,1,;-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2},;-\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt3}{2},;1 + i\sqrt3,;-2,;1 - i\sqrt3}

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