Se z=(1+j raiz3) / 2, calcule
(a) z^6
(b) 1+z+z^2+z^3+cdots+z^47.
Resp. 1; 0

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=1+jraiz32 e pede: (a) calcular z^6; (b) somar 1+z+z^2+cdots+z^47. Vamos usar conhecimentos de forma polar de números complexos, raízes da unidade e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, converto z em forma trigonométrica/polar. Observando que 12=cospi3 e raiz32=sinpi3, temos
z=1+jraiz32=cospi3+jsinpi3=e^jpi/3

Passo 3

Agora aplico o teorema de De Moivre para calcular z^6. Temos
z^6=l(e^jpi/3r)^6=e^j6cdot(pi/3)=e^j2pi=1

Passo 4

Para a soma S=1+z+z^2+cdots+z^47, noto que z^6=1 significa que z é uma raiz sexta primitiva da unidade. Logo o bloco de 6 termos satisfaz
1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=0

Passo 5

Como são 48 termos na soma e 48=8times6, podemos agrupar em 8 blocos de 6 termos iguais, cada bloco somando zero. Assim
S=8times(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5)=8times0=0

Resposta

1; 0

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