Encontre o conjunto solução das equações para s in C.
s^3=j

Passo 1

O problema pede para encontrarmos todos os complexos s tais que s^3=j. Isso envolve cálculo de raízes de um número complexo usando forma polar e o teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, representamos j em forma polar. Sabemos que j tem módulo 1 e argumento tfracpi2+2pi n. Logo,
j = e^jl(tfracpi2 + 2pi nr), ninZ

Passo 3

Para extrair as três raízes cúbicas, usamos a fórmula: se z=Re^jtheta, então
sk = R^1/3 ;e^jtfractheta + 2pi k3, k=0,1,2

Passo 4

No nosso caso, R=1 e theta=tfracpi2. Portanto
sk = e^jtfracpi2 + 2pi k3, k=0,1,2

Passo 5

Basta agora calcular para cada k:
  • Para k=0: s0 = e^jtfracpi/23 = e^jtfracpi6 = costfracpi6 + jsintfracpi6 = tfracraiz32 + jtfrac12
  • Para k=1: s1 = e^jtfracpi/2 + 2pi3 = e^jtfrac5pi6 = -tfracraiz32 + jtfrac12
  • Para k=2: s2 = e^jtfracpi/2 + 4pi3 = e^jtfrac3pi2 = e^jtfrac3pi2 = -j

Resposta

,tfracraiz32 + jtfrac12,;-tfracraiz32 + jtfrac12,;-j

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