Complete com (V)erdadeiro e (F)also.
01.( )
é inteira.
02.( )
é uma reta.
03.( ) Se
e
são números complexos e
, então
.
04.( )
, para qualquer
.
05.( )
06.( ) Toda função é holomorfa é diferenciável.
07.( ) Se uma função é diferenciável em
, então ela é contínua neste ponto.
08.( ) Se uma função é diferenciável em
, então ela é holomorfa neste ponto.
09.( ) Se uma função é contínua, então ela é diferenciável.
10. ( )
.
11. ( )
.
12.( )
13.( )
14.( )
15.( ) As curvas de nível
e
das funções componentes de
formam duas famílias de hipérboles ortogonais entre si.
16.( ) A função harmônica conjugada de
é
.
17.( ) Se uma função
é Holomorfa em um domínio
, então as equações de Cauchy-Riemann são válidas em
.
18.( )
leva a reta
do plano-
em uma circunferência que não passa pela origem no plano-
.
19.( )
leva a reta
do plano-
em uma circunferência que passa pela origem no plano-
.
20.( )
leva a reta
do plano-
na reta
do plano- $f(z).
01.( )
02.( )
03.( ) Se
04.( )
05.( )
06.( ) Toda função é holomorfa é diferenciável.
07.( ) Se uma função é diferenciável em
08.( ) Se uma função é diferenciável em
09.( ) Se uma função é contínua, então ela é diferenciável.
10. ( )
11. ( )
12.( )
13.( )
14.( )
15.( ) As curvas de nível
16.( ) A função harmônica conjugada de
17.( ) Se uma função
18.( )
19.( )
20.( )
Passo 1
A questão pede que identifiquemos cada uma das 20 afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve funções inteiras e holomorfas, periodicidade do exponencial, propriedades de diferenciabilidade e continuidade, identidades trigonométricas e hiperbólicas no campo complexo, equações de Cauchy–Riemann e imagens de retas por transformações conforme e de Möbius.
Passo 2
Para a afirmação 1, temos a função $z=x+jy$ com u=x^2 e v=y^2. As equações de Cauchy–Riemann exigem $u_x=v_y$ e $u_y=-v_x$, mas $u_x=2x$ e $v_y=2y$ só coincidem se $x=y$ em todo ponto, o que não ocorre. Logo não é inteira → F. Na afirmação 2, $,\arg(z)=\x7fpi/4$ descreve uma semirreta a partir da origem, não uma reta inteira → F.
Passo 3
Na afirmação 3, a exponencial é periódica: $ez=ew$ não implica $z=w$ pois $z-w=2\x7fpi k$ com \k \in \mathbb{Z}\) → F. Na 4, $e^{z+2\x7fpi j}=e^z e^{2\x7fpi j}=e^z$ por periodicidade 2\x7fpij → V. Na 5, $e^{(2+\x7fpi j)/4}=e{1/2}e{j\x7fpi/4}=\sqrt{e}(\cos frac{\x7fpi}{4}+j\sin frac{\x7fpi}{4})=\sqrt{e}(1+j)/\sqrt{2}$ → V.
Passo 4
Na afirmação 6, toda função definida e holomorfa numa vizinhança é, por definição, diferenciável → V. Afirmação 7: derivabilidade complexa em um ponto implica continuidade → V. Afirmação 8: diferenciar num ponto não garante holomorfia (diferenciabilidade numa região) → F. Afirmação 9: contínua não implica diferenciável → F.
Passo 5
Na 10, $,
\x7fsinh(0)=0$, não 1 → F. Na 11, $\cos(
\x7farctan(3/4))=\frac{4}{5}$, não \frac{5}{4}\) → F. Na 12, $j{47}=j{47\bmod4}=j^3=-j$ → V.
\x7fsinh(0)=0$, não 1 → F. Na 11, $\cos(
\x7farctan(3/4))=\frac{4}{5}$, não \frac{5}{4}\) → F. Na 12, $j{47}=j{47\bmod4}=j^3=-j$ → V.
Passo 6
Na 13, $\sin z=\sin x\cosh y+j\cos x\sinh y$ é a identidade correta → V. Na 14, $\cos z=\cos x\cosh y - j\sin x\sinh y$ → V.
Passo 7
Para $f(z)=z^2$, u(x,y)=x2-y2 e v(x,y)=2xy. Afirmação 15: as curvas $x2-y2=c_1$ e $2xy=c_2$ são hipérboles conjugadas harmônicas e ortogonais → V. Afirmação 16: v(x,y)=2xy é de fato a conjugada harmônica de u → V. Afirmação 17: holomorfia em um domínio D implica validade das equações de Cauchy–Riemann em D → V.
Passo 8
Afirmação 18: $f(z)=1/z$ leva a reta $x=1$ em $w=1/(1+iy)$, que descreve um círculo centrado em $1/2$ de raio $1/2$ e passa pela origem (y\to\pm\infty → w\to0) → não ‘não passa pela origem’ → F. Afirmação 19: como passa pela origem → V.
Passo 9
Na afirmação 20, $f(z)=(z+j)/(z-j)$ com $z=1+iy$ leva a w com parte real $,u=y2/[1+(y-1)2]$, não constante zero → F.
Resposta
1–F, 2–F, 3–F, 4–V, 5–V, 6–V, 7–V, 8–F, 9–F, 10–F, 11–F, 12–V, 13–V, 14–V, 15–V, 16–V, 17–V, 18–F, 19–V, 20–F