Complete com (V)erdadeiro e (F)also.
01.( ) f(z)=x^2+j y^2 é inteira.
02.( ) arg (z)=pi / 4 é uma reta.
03.( ) Se z e w são números complexos e e^z=e^w, então z=w.
04.( ) e^z=e^z+2 pi j, para qualquer z in C.
05.( ) exp 2+pi j4=raize 1+jraiz2
06.( ) Toda função é holomorfa é diferenciável.
07.( ) Se uma função é diferenciável em z0 in C, então ela é contínua neste ponto.
08.( ) Se uma função é diferenciável em z0 in C, então ela é holomorfa neste ponto.
09.( ) Se uma função é contínua, então ela é diferenciável.
10. ( ) senh(0)=1.
11. ( ) cos (arctg(3 / 4))=5 / 4.
12.( ) j^47=-j
13.( ) sen z=sen(x) cosh (y)+j senh(y) cos (x)
14.( ) cos z=cos (x) cosh (y)-j senh(y) sen(x)
15.( ) As curvas de nível u(x, y)=c1 e v(x, y)=c2 das funções componentes de f(z)=z^2 formam duas famílias de hipérboles ortogonais entre si.
16.( ) A função harmônica conjugada de u(x, y)=x^2-y^2 é v(x, y)=2 x y.
17.( ) Se uma função f(z)=u(x, y)+j v(x, y) é Holomorfa em um domínio D, então as equações de Cauchy-Riemann são válidas em D.
18.( ) f(z)=1z leva a reta x=1 do plano- z em uma circunferência que não passa pela origem no plano- f(z).
19.( ) f(z)=1z leva a reta x=1 do plano- z em uma circunferência que passa pela origem no plano- f(z).
20.( ) f(z)=z+jz-j leva a reta x=1 do plano- z na reta u=0 do plano- $f(z).

Passo 1

A questão pede que identifiquemos cada uma das 20 afirmações como verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolve funções inteiras e holomorfas, periodicidade do exponencial, propriedades de diferenciabilidade e continuidade, identidades trigonométricas e hiperbólicas no campo complexo, equações de Cauchy–Riemann e imagens de retas por transformações conforme e de Möbius.

Passo 2

Para a afirmação 1, temos a função $z=x+jy$ com u=x^2 e v=y^2. As equações de Cauchy–Riemann exigem $u_x=v_y$ e $u_y=-v_x$, mas $u_x=2x$ e $v_y=2y$ só coincidem se $x=y$ em todo ponto, o que não ocorre. Logo não é inteira → F. Na afirmação 2, $,\arg(z)=\x7fpi/4$ descreve uma semirreta a partir da origem, não uma reta inteira → F.

Passo 3

Na afirmação 3, a exponencial é periódica: $ez=ew$ não implica $z=w$ pois $z-w=2\x7fpi k$ com \k \in \mathbb{Z}\) → F. Na 4, $e^{z+2\x7fpi j}=e^z e^{2\x7fpi j}=e^z$ por periodicidade 2\x7fpij → V. Na 5, $e^{(2+\x7fpi j)/4}=e{1/2}e{j\x7fpi/4}=\sqrt{e}(\cos frac{\x7fpi}{4}+j\sin frac{\x7fpi}{4})=\sqrt{e}(1+j)/\sqrt{2}$ → V.

Passo 4

Na afirmação 6, toda função definida e holomorfa numa vizinhança é, por definição, diferenciável → V. Afirmação 7: derivabilidade complexa em um ponto implica continuidade → V. Afirmação 8: diferenciar num ponto não garante holomorfia (diferenciabilidade numa região) → F. Afirmação 9: contínua não implica diferenciável → F.

Passo 5

Na 10, $,
\x7fsinh(0)=0$, não 1 → F. Na 11, $\cos(
\x7farctan(3/4))=\frac{4}{5}$, não \frac{5}{4}\) → F. Na 12, $j{47}=j{47\bmod4}=j^3=-j$ → V.

Passo 6

Na 13, $\sin z=\sin x\cosh y+j\cos x\sinh y$ é a identidade correta → V. Na 14, $\cos z=\cos x\cosh y - j\sin x\sinh y$ → V.

Passo 7

Para $f(z)=z^2$, u(x,y)=x2-y2 e v(x,y)=2xy. Afirmação 15: as curvas $x2-y2=c_1$ e $2xy=c_2$ são hipérboles conjugadas harmônicas e ortogonais → V. Afirmação 16: v(x,y)=2xy é de fato a conjugada harmônica de u → V. Afirmação 17: holomorfia em um domínio D implica validade das equações de Cauchy–Riemann em D → V.

Passo 8

Afirmação 18: $f(z)=1/z$ leva a reta $x=1$ em $w=1/(1+iy)$, que descreve um círculo centrado em $1/2$ de raio $1/2$ e passa pela origem (y\to\pm\infty → w\to0) → não ‘não passa pela origem’ → F. Afirmação 19: como passa pela origem → V.

Passo 9

Na afirmação 20, $f(z)=(z+j)/(z-j)$ com $z=1+iy$ leva a w com parte real $,u=y2/[1+(y-1)2]$, não constante zero → F.

Resposta

1–F, 2–F, 3–F, 4–V, 5–V, 6–V, 7–V, 8–F, 9–F, 10–F, 11–F, 12–V, 13–V, 14–V, 15–V, 16–V, 17–V, 18–F, 19–V, 20–F

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