Mostre que as singularidades das funções são pólos. Determine a ordem
dos pólos e os correspondentes resíduos
.
Passo 1
O enunciado: temos a função
. O objetivo é mostrar que a única singularidade isolada em
é um pólo, determinar sua ordem
e calcular o resíduo .
Passo 2
O numerador
é uma função inteira (analítica em todo
) e não se anula em
. Já o denominador
se anula em
e faz surgir uma singularidade isolada. Pela definição, uma singularidade isolada em que o desenvolvimento de Laurent tem um número finito de termos de ordem negativa é um pólo.
Passo 3
A ordem do pólo em
vem diretamente do expoente de
no denominador. Como temos
, concluímos que o pólo é de ordem
.
Passo 4
Para calcular o resíduo em um pólo de ordem
usamos a fórmula
Substituindo
, temos
Observe que
Observe que
Logo
Avaliando o limite em
nos dá
Passo 5
Assim mostramos que a única singularidade é um pólo de ordem
em
e o resíduo correspondente é
.
Resposta
m = 2, b_1 = 2e^2