Mostre que as singularidades das funções são pólos. Determine a ordem m dos pólos e os correspondentes resíduos b1.
exp (2 z)(z-1)^2

Passo 1

O enunciado: temos a função f(z)=exp(2z)(z-1)^2. O objetivo é mostrar que a única singularidade isolada em z=1 é um pólo, determinar sua ordem m e calcular o resíduo .

Passo 2

O numerador exp(2z) é uma função inteira (analítica em todo C) e não se anula em z=1. Já o denominador (z-1)^2 se anula em z=1 e faz surgir uma singularidade isolada. Pela definição, uma singularidade isolada em que o desenvolvimento de Laurent tem um número finito de termos de ordem negativa é um pólo.

Passo 3

A ordem do pólo em z=1 vem diretamente do expoente de (z-1) no denominador. Como temos (z-1)^2, concluímos que o pólo é de ordem m=2.

Passo 4

Para calcular o resíduo em um pólo de ordem m=2 usamos a fórmula
Substituindo Res(f,1)=1(2-1)!limzto1ddzl[(z-1)^2f(z)r] , temos
Observe que
f(z)=exp(2z)(z-1)^2
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(z-1)^2f(z)=exp(2z)
Avaliando o limite em ddzl[(z-1)^2f(z)r]=ddzexp(2z)=2exp(2z) nos dá

Passo 5

Assim mostramos que a única singularidade é um pólo de ordem m=2 em z=1 e o resíduo correspondente é b1=2e^2.

Resposta

m = 2, b_1 = 2e^2

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