Resolva as equações diferenciais.
(yx y+1+x^2) d x+xx y+1 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial na forma
l(yx y+1+x^2r),dx+xx y+1,dy=0
Aqui o conteúdo é identificar que se trata de uma equação exata e, em seguida, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=yx y+1+x^2, partial Psipartial y=xx y+1

Passo 2

Verificamos se a equação é exata, ou seja, comparamos
partialpartial yl(yx y+1+x^2r) e partialpartial xl(xx y+1r)
Calculando
partialpartial yl(yx y+1r) =(x y+1)cdot1 - ycdot x(x y+1)^2 =1(x y+1)^2,
e
partialpartial xl(xx y+1r) =(x y+1)cdot1 - xcdot y(x y+1)^2 =1(x y+1)^2
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) integrando partial Psi/partial x=M(x,y) em relação a x:
Psi(x,y) =integrall(yx y+1+x^2r),dx =integralyx y+1,dx+integral x^2,dx
No primeiro termo fazemos u=x y+1, du=y,dx, dando
integralyx y+1,dx =integralduu =lnl|x y+1r|
No segundo termo
integral x^2,dx=x^33
Logo
Psi(x,y)=lnl|x y+1r|+x^33+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo partial Psi/partial y=N(x,y)=dfracxx y+1, temos
partial Psipartial y =xx y+1+h'(y) stackrel!=xx y+1 Longrightarrow h'(y)=0
Logo h(y) é constante e pode ser absorvida na constante da solução geral.

Resposta

A solução implícita geral é
lnl|x y+1r|+x^33=C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados